Определение. Мощностью множества a называется семейство всех множеств, равномощных A

Мощностью множества A называется семейство всех множеств, равномощных A.

Поскольку всякое множество равномощно самому себе, то мощность всякого множества является непустым семейством. Поэтому мощность является реальной характеристикой всякого множества. Мощность произвольного множества A обозначается символически как | A |.

Множество A - конечно, если оно пустое или равномощно некоторому началу { 1, 2,..., k } множества натуральных чисел N. Для непустого конечного множества A, состоящего из k элементов, принято использовать число k в качестве обозначения мощности этого множества.

Мощность пустого множества считается равной нулю.

Множество A называется счетно-бесконечным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Мощность счетно-бесконечного множества обозначается как ₀.

Множество A называется счетным, если оно конечное или счетно-бесконечное. Содержательно счетность множества означает, что его элементы можно последовательно пересчитать подобно тому, как могут быть пересчитаны все элементы множества натуральных чисел. Для этого достаточно организовать пересчет N, при котором для каждого натурального числа указывается соответствующий ему элемент счетного множества A.

Замечание. Счетные множества объектов - это основной вид множеств объектов, изучаемых в дискретной математике.

Упражнение. Показать, что если A равномощно B, а B равномощно C, то A равномощно C.

Рассмотрим некоторые свойства счетных множеств.