Решение

Положим, что - координатный базис цилиндрической системы координат. Тогда радиус – вектор материальной точки может быть представлен в этом базисе в виде

При дифференцировании по времени этого разложения необходимо иметь ввиду, что координатный базис цилиндрической системы координат зависит от точки пространства. Поэтому

Для нахождения производных воспользуемся выражениемцилиндрического координатного базиса через декартовый координатный базис. Поскольку декартовый координатный базис не зависит от точки пространства, мы получим

Учитывая эти выражения, получаем выражения для скорости и ускорения материальной точки в цилиндрических координатах

Сопоставляя контравариантные компоненты ускорения и скорости находим, что являются абсолютными производными значений по времени, то есть

где - символы Кристоффеля (см. ). Тоже относится и к скорости.

Задания для самостоятельного решения.

1. Используя выражения для скорости и ускорения в декартовых координатах и формулы преобразования компонент вектора найти скорость и ускорение материальной точки в цилиндрической системе координат.

2. Найти скорость и ускорение материальной точки в цилиндрической системе координат с помощью коэффициентов Ламе. Объяснить несовпадение результатов.