Метод подвижного репера. Уравнения Френе

Рассмотрим еще один пример подвижного репера – репер Френе. Будем полагать, что материальная частица движется по кривой линии (Рис.2), заданной выражением

где - длина дуги, отсчитываемая по траектории движения частицы. Тогда скорость частицы несложно найти продифференцировав выражение (4.1) по времени

Рис. 1.

Поскольку то - единичный вектор, направленный по касательной к траектории. Следовательно,

.

Найдем ускорение частицы, продифференцировав выражение (4.3) по времени

,

где . - вектор, направленный по нормали к траектории. - единичный вектор. Для ускорения частицы мы получаем следующее выражение

Таким образом, у нас вполне естественно возникли два единичных и ортогональных вектора, составляющих часть подвижного репера. Введем третий орт репера по стандартному правилу

Полученный таким образом репер называется репером Френе . Этот репер выделяет в пространстве три плоскости: - соприкасающаяся, - нормальная и - спрямляющая. Найдем закон изменения орта при движении по траектории. Для этого продифференцируем определение (4.5) по длине дуги

.

Воспользуемся известным соотношением

.

В нашем случае . Следовательно

.

Введем обозначение . Тогда получаем закон изменения орта при движении материальной точки по траектории в виде

Далее находим закон изменения орта при движении материальной точки по траектории

.

Таким образом, мы пришли к уравнениям, которые описывают изменение репера Френе при движении материальной частицы по траектории. Эти уравнения называются уравнениями Френе. Выпишем уравнения Френе

Выясним смысл коэффициентов и , входящих в уравнения Френе (6.8). Разложим векторную функцию в ряд Тейлора вблизи точки . Используя уравнения Френе (6.8) будем иметь

Проектируем вектор на направления (см. рис. 2)

Рис. 2.

Как несложно увидеть из выражений (6.9), в квадратичном приближении проекцией траектории на соприкасающуюся плоскость является парабола

В точке исследуемая кривая касается оси . При сдвиге вдоль кривой на величину кривая и ось расходятся на расстояние . Если , то - малая величина второго порядка. Это дает нам основание говорить о касании первого порядка осью исследуемой кривой в точке . Проведем окружность радиуса с центром в точке на оси . Окружность касается кривой в точке . При сдвигах вдоль кривой кривая и окружность расходятся на расстояние . Вычислим это расстояние

.

Поэтому

.

Таким образом, мы имеем касание второго порядка окружностью кривой в точке . Поэтому мы можем утверждать, что - радиус кривизны кривой, а, соответственно, - ее кривизна.

Рассмотрим проекцию кривой на спрямляющую плоскость . Из (6.9) нетрудно заметить, что эта проекция имеет вид кубической параболы

.

Эта кривая проходит из нижней полуплоскости в верхнюю (из верхней в нижнюю), если , а рассматриваемая точка на кривой есть точка перегиба. Это дает нам возможность трактовать как кручение кривой.

Теорема. Значения кривизны и кручения как функции длины дуги однозначно определяют форму кривой, независимо от положения этой кривой в пространстве.

Докажем эту важную теорему. Необходимость доказываемого утверждения очевидна, поскольку если известна кривая, то значения и легко восстанавливаются, например, из уравнений Френе.

Достаточность. Положим, что известны функции и . Рассмотрим уравнения Френе (6.8), в которых векторы , и являются искомыми функциями. Докажем следующую лемму: ортонормированность репера Френе в любой точке кривой обеспечивается ортонормированностью его в начальной точке.

Введем обозначения . . , , и . Используя уравнения Френе (6.8) нетрудно получить уравнения для введенных функций

Последние пять уравнений являются замкнутой системой однородных линейных уравнений относительно искомых . Единственным решением этой системы, удовлетворяющим начальным условиям

,

является

Из первого уравнения следует при данных начальных условиях, что . Если , то , что и доказывает лемму.

Вернемся к уравнениям Френе. Сведем их к одному уравнению третьего порядка

Общее решение этого уравнения содержит три произвольные вектора , и , как постоянные интегрирования. Следовательно,

.

Воспользуемся этими векторами, чтобы удовлетворить следующим начальным условиям: (этого всегда возможно добиться вследствие однородности уравнения), , , Подставляя решение в уравнения Френе, находим

Полученное решение уравнений Френе удовлетворяет условиям ортонормированности репера Френе в каждой точке кривой, а произвол, определяемый векторами , и сузился только до произвола в выборе направлений векторов и в начальной точке при условии . После интегрирования уравнения

получаем

,

где постоянный вектор интегрирования последнего уравнения. Таким образом, вектор и вектора , и при указанных выше условиях определяют положение начальной точки кривой в пространстве и положение кривой.

Найдем угловую скорость вращения репера Френе. С одной стороны, согласно выражению (3.13) мы имеем

,

где - угловая скорость вращения репера Френе. С другой стороны из второго уравнения Френе находим

Сравнивая последние два выражения, получаем следующее равенство

.

Помножим полученное равенство векторно на ^.Тогда будем иметь

Откуда, раскрывая векторные произведения, получаем

Повторяя эти же рассуждения для вектора , находим

.

Откуда следует, что . Подставляя этот результат в соотношение (6.9), находим угловую скорость вращения репера Френе

Вернемся к уравнениям Френе. Найдем траекторию частицы, если кривизна и кручение постоянны, т.е. .

Интегрируем уравнения Френе для этого случая. Дифференцируя второе уравнение Френе, и, пользуясь остальными уравнениями, получаем

Мы получили векторное волновое уравнение, решение которого имеет вид

где и - векторные константы интегрирования. Подставляя полученное решение в первое и третье уравнения Френе, находим недостающие решения

Видно, что постоянные интегрирования носят векторный характер и определяются из условий, налагаемых на вектора репера Френе

Из этих условий получаем

Следовательно, решения уравнений Френе имеют вид

Уравнение кривой, в силу определения , имеет вид

,

где - граничное значение радиус – вектора. Подставляя в это выражение найденное решение (4.11), получаем уравнение траектории частицы

Поскольку репер неподвижен и ортонормирован - его можно отождествить с координатным декартовым репером и увидеть, что мы получили уравнение винтовой линии – линии постоянной кривизны и кручения. Ось линии направлена по вектору . Радиус винтовой линии , а шаг винта