Сравнение средних арифметических

Задача сравнения выборочных средних – это вопрос о том, действовал ли при составлении одной из выборок новый систематический фактор по сравнению с другой выборкой. В терминах статистики отличия между средними могут иметь два противоположных источника:

1. Обе выборки взяты из одной генеральной совокупности, но средние отличаются в силу ошибки репрезентативности.

2. Выборки взяты из разных генеральных совокупностей, отличие средних вызвано, в основном, действием разных доминирующих факторов (а также и случайно).

Статистическая задача состоит в том, чтобы сделать обоснованный выбор. Исходно предполагается (Но): «достоверных отличий между средними нет». Отличить закономерное от случайного можно только на основе знания законов поведения случайной величины. Для исключения чужеродных («выскакивающих») вариант мы применяли закон нормального распределения: в диапазоне четырех стандартных отклонений, M ± 1.96∙ S, отклонение вариант от средней происходит по случайным причинам; за границами этого диапазона лежат чужеродные для данной выборки значения. Поскольку выборочные средние имеют нормальное распределение, критерий отличия двух выборочных средних также базируется на свойствах нормального распределения: в границах M_{общ .}±1.96∙ m (или приблизительно M_{общ .}± 2∙ m) выборочные средние арифметические отличаются от общей (генеральной) средней по случайным причинам. Тогда рабочая формула для t критерия отличия средних будет:

~ t _{( α , df )}.

Следует помнить, что разность средних нужно брать по модулю, т. е. без учета знака. Получен­ное этим способом значение критерия t Стьюдента сравнивают с таб­личным при выбранном уровне значимости (обычно для α = 0.05) и числе степеней свободы (объемы выборок без числа ограни­чений, df = n ₁ + n ₂ − 2). Результатом такого сравнения должен стать один из двух вариантов следующего статистического вывода. Если по­лученное значение (величина) критерия больше табличного, значит, различия между параметрами при заданном уровне значимости и установленном числе степеней свободы достовер­ны. Если же полученная величина критерия меньше таблич­ной, то при данном уровне значимости и числе степеней свобо­ды различия между параметрами недостоверны. Последнее говорит о том, что различия случайны, никакого определенного вывода сделать нельзя, нулевая гипотеза остается неопровер­гнутой.

При сравнении выборочных параметров нормального и би­номиального распределений используется одна и та же форму­ла. Например, в процессе специальных исследований было установлено, что у стариков до лечения инсулином среднее содержание белков в крови составляло 81.04 ± 1.7, а после ле­чения 79.33 ± 1.6. Нетрудно видеть, что полученные величины неодинаковы. Но достоверно ли это различие, закономерно ли оно? Можно ли на его основании утверждать, что лечение ин­сулином понижает содержание белков в крови? Ответ на этот вопрос может дать критерий достоверности различий средних арифметических. Согласно общей нулевой гипотезе средние не отличаются. Проверим ее с помощью критерия Стьюдента:

= 0.7.

По таблице граничных значений критерия (табл. 6 П) находим, что для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = 20 + 20 − 2 = 38 величина крите­рия составляет t _(0.05,39) = 2.03. Поскольку полученное значение (0.7) мень­ше табличного (2.03), нулевая гипотеза сохраняется, различия между средними величинами статисти­чески недостоверны (незначимы). Следовательно, влияние инсулина на содержание белков в крови приведенными выше данными не подтверждается и остается недоказанным, возмож­но, из-за недостаточного числа определений.