Движения плоскости

§1. Отображение и преобразование множеств.

Определение 1. Пусть Х и У непустые множества, Х´У – их декартово произведение

Х´У = {(х, у)|хÎХ, уÎУ}.

Рассмотрим подмножество G Ì Х´У. Если пара (х, у)ÎG, то говорят, что элементу х Î Х соответствует элемент у Î У относительно G.

При этом тройка f = (G, X, У) называется соответствием между множествами Х и У.

Пусть G = , где Ì Х, Ì У.

Тогда назовем - областью определения соответствия f, а - областью значений соответствия f, при этом G – называется графиком соответствия f.

Определение 2. Соответствие f = (G, X, У) называется функцией, если для каждого значения хÎ существует единственный элемент уÎУ такой, что пара (х, у)ÎG. При этом у называется значением функции f для элемента х и обозначают у = f(x) или элемент у = f(х) называется образом элемента х Î Х, а х - прообразом элемента уÎY.

Если область определения функции f совпадает с множеством Х ( = Х), то говорят, что f есть отображение множества Х в множество У.

Эту функцию обозначают одной буквой, например f, и пишут так: f: Х®Y или Х ^f Y.

Вместо термина “функция” в геометрии принято говорить “отображение”, так как термин “функция” обычно употребляется для числовых множеств.

Например: Пусть W - окружность, а АВ - её диаметр. Каждой точке М окружности поставим в соответствие ортогональную проекцию М₁ на прямую АВ.

Получим отображение окружности W в прямую (АВ):

f ₁ : W ® (АВ).

Если в отображении f: Х®Y множество Y = f (Х) = Х, то говорят, что дано отображение множества Х на себя.

Рассмотрим частные случаи отображений f: Х®Y.

1. Если для любых значений х_1, х₂ Î Х из условия х₁ ¹ х₂ следует

f(х₁) ¹ f(х₂), то отображение f называется инъективным или инъекцией Х в У.

2. Если полный образ множества Х совпадает с У, то есть Y = f (Х), то отображение f называется сюръективным или сюръекцией множества Х на У.

3. Если отображение f: Х®Y, одновременно, инъективное и сюръективное, то оно называется биективным или биекцией, или обратимым.

Преобразованием непустого множества Х называют любое биективное отображение множества Х на себя.

Например: Пусть W - окружность, заданная на ориентированной плоскости а j - ориентированный угол, причем -p<j£p отображение f: W®W, при котором каждой точке М окружности W ставится в соответствие точка М^' - той же окружности такая, что ÐМОМ ^' = j. Тогда f: W®W - преобразование окружности W.

ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.

При отображении f: Х®Y каждый элемент множества Х переходит в один только один элемент из У. Но на элементы множества У ограничений не накладывается – в некоторые из них не отображается ни один из элементов множества Х, в другие ровно один элемент, а в некоторые несколько или даже бесконечно много элементов.

Определение 3. Назовем прообразом элемента у Î У при отображении f: Х®Y множество всех элементов из Х, которые при этом переходят в y.

Обозначаем прообраз:

f ^–1(y) = {x| xÎX Ù f(x) = y}.

Если рассматривать биективное отображение f: Х®Y, то нетрудно заметить, что каждый элемент у Î У имеет единственный прообраз. Это позволяет нам построить новое соответствие g: У®Х по закону

g(y) = x, если y = f(x).

Это соответствие называют обратным к f.

Замечание. Если мы рассматриваем биективное отображение f: Х®Y, то обратное соответствие g: У®Х также является биективным отображением. Однако для произвольного отображения f: Х®Y обратное соответствие g: У®Х может не быть даже отобажением. Возникает вопрос, когда же обратное соответствие g: У®Х является отображением? Во-первых, необходимо, чтобы каждый элемент у Î У имел прообраз, а, следовательно, отображение f: Х®Y должно быть сюръективным. Во-вторых, g(y) должно быть единственным элементом в Х, другими словами, каждый элемент у Î У имел прообраз, состоящий из одного элемента. Последнее утверждение говорит нам о том, что, отображение f: Х®Y должно быть инъективным. Таким образом, если отображение f: Х®Y – биекция, то обратное к f соответствие g: У®Х является отображением. Это обратное отображение принято обозначать f ^–1: У®Х.f ^–1 (y) = f ^–1 (f(x)) = x,

Определение 4. Под произведением g×f преобразований f, g Î F_х будем понимать g×f (х) = g (f (x)).

Очевидно, композиция f ^–1 × f: Х®Х является тождественным отображением.

Теорема 1. Если отображение f: Х®Y – биекция, то обратное к f отображение f ^–1: У®Х является также биективным отображением.

Доказательство. Покажем, что f ^–1: У®Х - сюръекция. Действительно, пусть y = f(x), тогда

f ^–1 (y) = f ^–1 (f(x)) = x,

то есть у прообраз х для f ^–1. Следовательно, f ^–1- сюръекция.

Покажем, что f ^–1: У®Х - инъекция. Действительно, выберем различные точки у₁ ¹ у₂, а их прообразы обозначим

х₁ = f ^–1 (у₁), х₂ = f ^–1 (у₂). Если предположить, что х₁ = х₂, то получим f(х₁) = f(х₂) и поэтому у₁ = , что противоречит условию. Следовательно, х₁ ¹ х₂ и f ^–1: У®Х - биекция.

▄

Определение 5. Пусть f: Х®Х – преобразование множества Х. Элемент х Î Х (подмножество F Ì X) называется неподвижным или инвариантным элементом (подмножеством) для преобразования f, если f(x) = х (f(F) = F).