Группа преобразований множества

Обозначим F_х – множество всех преобразований множества Х ¹Æ. Пусть преобразования f, g Î F_х.

Определение 5. Под произведением g×f преобразований f, g Î F_х будем понимать g×f (х) = g (f (x)).

Теорема 2. Произведение g×f преобразований f, g Î F_х так же является преобразованием множества Х.

Доказательство. 1. Произведение g×f: Х®Х является отображением.

Действительно, оба преобразования f и g каждой точке х Î Х ставят в соответствие только одну точку из Х, а поэтому и произведение g×f каждую точку х Î Х отображает в единственную х Î Х.

2. Произведение g×f: Х®Х является инъекцией.

Действительно, из условия х₁ ¹ х₂ следует f(х₁) ¹ f(х₂),

так как отображение f инъективное. Из условия f(х₁) ¹ f(х₂) следует g(f(х₁)) ¹ g(f(х₂)), так как отображение g инъективное, а, следовательно, g×f: Х®Х является инъекцией.

3. Покажем, что произведение g×f: Х®Х является сюръекцией.

Действительно, Для этого достаточно для произвольного элемента zÎ Х указать прообраз (g×f)^–1 (z). Учитывая, что f и g сюръективные отображения, получим:

g ^–1(z) = y, f ^–1(y) = x.

Тогда x прообраз z. Действительно, так как x = (g×f)^–1 (z), то

g×f(x) = g(f(x)) = g(f((g×f)^–1 (z))) =

= g(f(f ^–1(g^–1 (z)))) =g(g^–1(z)) = z.

Таким образом, произведение g×f преобразований f, g Î F _х является преобразованием множества Х.

▄

Теорема 3. Множество F_х всех преобразований не пустого множества Х относительно операции умножения образует группу.

Доказательство. Согласно теореме 2 операции умножения замкнута на множестве F _х.

Покажем, что операция умножения ассоциативна на множестве F_х. Действительно, пусть f, g, h Î F_х и

f: x® y, g: y®z, h: z®u.

Тогда, g×f: x®z и h×(g×f): x®u.

С другой стороны, f: x® y, h×g: y® u и (h× g)×f: x®u.

Так как точка x Î Х выбрана произвольно, то h×(g×f)= (h× g)×f, что требовалось доказать.

▄

Покажем существование единичного элемента в F_х и для любого f Î F_х существование обратного элемента в F_х. Действительно, в качестве единичного элемента мы выбираем тождественное преобразование е: Х®Х, которое, очевидно, принадлежит F_х. Если f Î F_х, то f преобразование Х, а любое преобразование имеет обратное f ^–1, которое так же является преобразованием множества Х и принадлежит F_х. Теорема доказана.

▄