Движения плоскости

Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояние, если расстояние между любыми двумя точками А и В плоскости равно расстоянию между их образами А^' и B', т.е. |АВ| = |А'В'|.

Определение 6. Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением (или перемещением).

Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Рассмотрим примеры движений.

1. Параллельный перенос.

Возьмем вектор , параллельный плоскости s. Каждой точке М Î s поставим в соответствие точку М¢ так, чтобы . Мы получаем некоторое отображение f: s ® s, которое является преобразованием плоскости s. Оно называется параллельным переносом на вектор . Вектор называется вектором переноса.

Если =0, то параллельный перенос - есть тождественное преобразование.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Пусть М₁ и М₂ - две точки плоскости, а М₁^' и М₂^' - их образы. Тогда = , = , поэтому = . Согласно лемме о равенстве векторов, имеем = и, следовательно, | M₁M₂ | = | М₁^' М₂ ^'|. Таким образом при параллельном переносе сохраняются расстояния, т.е. параллельный перенос является движение.

▄

В дальнейшем будем обозначать параллельный перенос . Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартовую систему координат О и зададим координатами точки М(х,у), М^’(x^’,y^’) и вектор (a,b). Тогда