Дифференциальные уравнения однородной длинной линии

Рис.1

Рассмотрим элементарный участок однородной линии с распределенными параметрами длиной Δ х, находящейся на расстоянии х от начала линии (рис.1).

Здесь введены следующие обозначения:

u, i – напряжение и ток на входе в элементарный участок линии соответственно;

u +Δ u, i +Δ i – напряжение и ток на выходе элементарного участка линии соответственно;

L₀Δx, C₀Δx, R₀Δx, G₀Δx – полные индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость данного участка линии.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа:

или

(1.1)

В соответствии с первым законом Кирхгофа:

или

(1.2)

Разделив обе части (1.1) и (1.2) на Δ х, переходя к пределу при Δ х →0 и пренебрегая членами более чем первого порядка малости, получим:

(1.3)

Система уравнений (1.3) образует искомую систему уравнений для расчета u (x,t) и i (x,t) в длинных линиях. В литературе эти уравнения известны под названием телеграфных уравнений. Совместное решение телеграфных уравнений при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставленную задачу по определению u (x,t) и i (x,t).

Если за начало отсчета принять конец линии, т.е. ввести координату x' (рис.1), то уравнения примут вид:

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений их решение для произвольных сопротивлений генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы представляет собой сложную, хотя и разрешимую принципиально задачу.

Ниже будут рассматриваться случаи установившегося режима гармоничных колебаний в линии.