Линии на плоскости

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то­чек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свой­ством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плос­кости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить, лежит ли точка А(х_о;у_о) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁(x;y) = 0 и F₂(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

F₁ (x; y) = 0,

F₂ (x; y) = 0.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F (r; φ) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

x = x (t),

y = y (t), (3)

где х и у — координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (x; у) на плоскости.

Например, если x = t + 1, y = t², то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется паpaметрическим, а уравнения (3) — параметрическими уравнениями линии.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 4-12 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

	или
Рис. 4. Окружность радиуса R

Рис. 5. Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: , ; в полярных координатах: .	Рис. 6. Трилепестковая роза В полярных координатах ее уравнение имеет вид: , где a > 0.
Рис. 7. Улитка Паскаля Уравнение в полярных координатах имеет вид: .

Рис. 8. Полукубическая парабола Уравнение кривой или .	Рис. 9. Астроида Уравнение в прямоугольных координатах: j параметрические уравнения:
Рис. 10. Кардиоида Уравнение в полярных координатах имеет вид , где а > 0. Кардиоида — част­ный случай улитки Паскаля (а = b).	Рис. 11. Спираль Архимеда Уравнение кривой в полярных координатах , где а > 0 — постоянное.

Рис. 12. Циклоида Параметрические уравнения циклоиды имеют вид где а > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.