Уравнения передачи однородной линии

Поскольку электромагнитные колебания в линии распространяются с конечной скоростью, не превышающей скорости распространения света, то мгновенные значения напряжения u и тока i в любой точке линии являются не только функциями времени t, но и расстояния от начала линии x: u(x,t); i(x,t). В элементах с сосредоточенными параметрами ток и напряжение зависят только от времени t: u(t), i(t).

Для элемента линии длиной dx на основании законов Кирхгофа, пренебрегая величинами второго порядка малости, можно записать уравнения:

(2.1)

Данные уравнения называются телеграфными, поскольку впервые были получены для телеграфной связи. Решение телеграфных уравнений в общем виде – задача сложная, поэтому рассмотрим частный случай – установившийся режим в линии при воздействии гармонического напряжения на её входе. Если на входе линии действует источник гармонического напряжения

то напряжение и ток в любой точке линии с координатой x будут изменяться во времени также по гармоническому закону с частотой входного сигнала ω. Комплексные мгновенные значения напряжения и тока можно записать в виде:

где - комплексная амплитуда напряжения;

- комплексная амплитуда тока.

Подставляя эти выражения в уравнения (2.1), получим систему телеграфных уравнений для комплексных действующих значений:

, (2.2)

где оператору дифференцирования во временной области соответствует оператор jω в области комплексной переменной. Продифференцируем уравнения (2.2) по x:

Подставив в эти выражения значения производных (2.2), получим:

(2.3)

(2.4)

Решение дифференциального уравнения (2.3) имеет вид:

, (2.5)

где и - постоянные интегрирования, а величина

(2.6)

является корнем характеристического уравнения. Эта величина γ называется постоянной распространения, поскольку определяет изменение амплитуды и фазы распространяющегося по линии сигнала.

Аналогичный вид имеет решение уравнения (2.4), однако, чтобы избежать увеличения количества неизвестных постоянных дифференцирования, удобнее определить выражение комплексного действующего значения тока на основании уравнения (2.2):

Согласно (2.5):

тогда

, (2.7)

где

(2.8)

Для того чтобы определить постоянные интегрирования и , необходимо ввести дополнительные условия, учитывающие физические процессы в линии. Рассмотрим линию длиной с сопротивлением нагрузки Z _н. Тогда комплексные действующие значения напряжения и тока в конце линии можно представить в виде:

; .

Применив эти условия к (2.5) и (2.7), получим:

Из решения этой системы уравнений находим постоянные интегрирования:

, .

Подставляя значения и в (2.5) и (2.7), получим формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии:

(2.9)

Вместо координаты x, отсчитываемой от начала линии, в ряде случаев удобно использовать координату , отсчитываемую от конца линии. В этом случае уравнения (2.9) приобретают вид:

(2.10 а)

Можно сгруппировать слагаемые, входящие в уравнения (2.10 а), иначе:

(2.10 б)

Если в качестве дополнительных условий, учитывающих физические процессы в линии, ввести комплексные действующие значения напряжения и тока в начале линии ; , то формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии: