Теорема Дирихле

Тригонометрические ряды Фурье.

Определение.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (1)

где - коэффициенты ряда, которые вычисляются по формулам:

(2)

(3)

(4)

Для интегрируемой на отрезке функции записывают

и говорят, что функции соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходиться, то его сумму обозначают .

Теорема Дирихле

Пусть -периодическая функция на отрезке удовлетворяет условиям:

1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна и имеет конечное число точек разрыва.

2. кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией:

.

2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда

,

т.е. равна среднему арифметическому пределов слева и справа.

3. В точках и (на концах отрезка)

.

Таким образом, если удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы, то на отрезке имеет место разложение

. (5)

Это равенство может нарушаться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .