Пример 2

Разложить в ряд Фурье функцию f (x), определенную равенством:

f (x) = | x | при – p x £ p.

Решение.

Функция f(x) имеет период 2 p, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f (– x) = f (x), т.е. она четная (рис. 2).

Рис. 2.

По формулам (7) найдем коэффициенты Фурье:

= = = p,

а_n = = = - dx =

= ×cos nx = × =

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f (x)= – (cos x + cos3 x + cos5 x + … + cos((2 n +1) x) +…) =

= cos((2 n +1) x),

При этом .

На отрезке ряд сходится к функции | x |.

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье функцию:

f (x)=