Решение задач жёсткости

Здесь рассматривается решение задач жесткости при растяжении-сжатии и кручении. Решение задач жесткости при изгибе и сложных ви­дах нагружения бу­дет рассмотрено во второй части курса.

Условие жесткости формулируется так – перемещение в заданной точке или сечении конструкции не должно превышать допустимых, по условиям эксплуатации, пере­мещений этой точки или сечения.

Математические выражения условий жесткости:

- при растяжении-сжатии;

- при кручении.

Здесь – расчетное изменение длины расчетной схемы или её части; – расчетные изменения длины входящих в них участков; – расчетный угол закручивания расчетной схемы или её час­ти; – расчетные углы закручивания входящих в них участков; – отно­сительный угол закручивания; – допускаемые: изменение длины, угол закру­чивания и относитель­ный угол закручивания.

В инженерной практике чаще всего решаются три типа задач жест­кости:

- проверка жесткости;

- определение размеров сечения, обеспечивающих за­данную жест­кость;

- определение допускаемой нагрузки, при которой обеспечивается жесткость конструкции.

Алгоритм решения этих задач включает в себя следующие шаги:

1. Выбор и изображение расчетной схемы;

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов;

3. Запись условия жесткости;

4. Определение в численном или алгебраическом виде , , вычис­ление , , .

Рассмотрим содержание этих шагов.

Выбор и изображение расчётной схемы и построение эпюр вы­полня­ются аналогично соответствующим шагам в алгоритме реше­ния задач прочности.

Запись условия жёсткости – содержание этого шага раскрыто выше.

Определение , ,. , , .

На участках, где N = const, М_к = const:

, .

На участках, где N ≠ const, М_к ≠ const:

, ,

где N(z), M_к(z) - аналитические выражения для определения N и М_к в произвольном сечении участка.

Эти выражения были составлены при построении эпюр.

Суммируя ∆l_i, получают выражение для ∆l, суммируя ∆ , полу­чают выражение для . Если условие жёсткости при кручении выра­же­но через , то записывают выражение для (см. выше). Если рас­чет­ная схема состоит из стержней одного поперечного сечения, то в ка­честве М_к в выражение для подставляют максимальное по абсо­лют­ной величине значение,взятое с эпюры ² М_к ².

Если в расчетной схеме есть участки с разными поперечными се­че­ниями, то выражение для составляют аналогично для каждого уча­стка.

Ответ на вопрос задачи

При проверке жесткости вычисляют численное значение ∆l, , и сравнивают с [ ∆l ], [ ], [ ]. Если ∆l ≤ [ ∆l ], ≤ [ ], ≤ [ ], то тре­буемая же­сткость обеспечена, иначе не обеспечена.

При определении необходимых размеров или допускаемой на­грузки в условие жесткости вместо знака "≤" ставят знак "=".

Для определения размеров в полученное равенство подставляют F, или I_k, выраженные через размеры сечения, затем разрешают его от­носительно размеров сечения.

При определении допускаемой нагрузки в равенство подстав­ляют N или М_к, вы­раженные через внешнюю нагрузку (если они не были уже выражены на этапе получения ∆l, , ), а затем разре­шают ра­венство относительно внешней на­грузки.

Предупреждение. Если задачи по определению размеров сечения или до­пускаемой нагрузки из условия жесткости решаются как самосто­ятельные, то после их решения в обязательном порядке необходима проверка прочности.

4.3. Методические указания к решению за­дач К 2.5, К 2.6

В задачах К 2.5 и К 2.6 требуется для сложных сечений вычис­лить значения главных центральных и моментов инерции и определить по­ложение главных цен­тральных осей.

Алгоритм решения этих задач.

1. Вычерчивают сложное сечение.

2. Сложное сечение разделяют на простые составляющие части.

3. Выбирают начальные оси Х₀У₀.

4. Определяют координаты центров тяжести составляющих частей в системе координат Х₀У₀. Через их центры тяжести проводят цен­т­ральные оси составляющих частей, параллель­ные осям Х₀У₀. Вычис­ляют площади простых час­тей и их моменты инерции отно­сительно проведенных центральных осей.

5. Определяют площадь и координаты центра тяжести всего сечения в системе координат Х₀У₀. Через центр тяжести сечения проводят цен­тральные оси Х_сУ_с параллельные осям Х₀У₀. Определяют моменты инерции сечения относительно этих осей.

6. Определяют главные центральные моменты инерции и положение глав­ных центральных осей сечения.

Рассмотрим эти шаги более подробно.*⁾

Вычерчивание сечения

Сечение вычерчивается в произвольном масштабе на бумаге в кле­точку или миллиметровке. Чертеж должен занимать не менее поло­вины листа ученической тетради. На чертеже проставляют все харак­терные размеры сечения.

Деление сечения на простые части

Простой будет называть часть сечения, для которой известны по­ло­жение центра тяжести, а также формулы для определения пло­щади и центральных мо­ментов инерции или их числовые значения. Для уменьшения числа составляющих частей, особенно для сечений с вы­резами и отверстиями, допускается добавлять к сечению мнимые (от­сутствующие) части. В расчетах площади и моменты инер­ции "мни­мых" частей берутся с противоположным знаком по сравнению со зна­ком аналогичных дейст­вительных частей. Простые части ну­ме­руют.

Выбор начальных осей

Решение можно выполнить с любыми, произвольно взятыми осями Х₀У₀, Однако затрат труда будет меньше, если начальные оси естест­венным образом связать с сечением. Для сечений несиммет­ричных жела­тельно начальные оси на­правлять по границам сечения или простых частей. Желательно, чтобы все сече­ние находилось в первой четверти. С целью устранения возможных ошибок сле­дует выбирать только правую систему координат (ось У₀ направлена вверх, ось Х₀ – вправо). Для сечений симметричных желательно, чтобы начальные оси сов­падали с осями симметрии.

__________________________________________________________

*⁾Примеры практического использования алгоритма даны в разд. 4.4

4-й шаг алгоритма

При выполнении этого и пятого шага алгоритма, для снижения веро­ятности появления ошибок, повышения удобства проведения расче­тов, контроля и про­верки их правильности, результаты расчетов за­носят в единую таблицу (табл. 20). Порядок заполнения таблицы по­казан в разд. 4.3.

Таблица 20

Часть	хс,	ус	F	Ix	Iv	Ixy	a	b	a2F	b2F	abF
…
N
Сече­ние

Координаты центров тяжести определяют в системе координат Х₀У₀ с уче­том знаков. Для этого используют размеры на чертеже и зависи­мости, определяющие координаты центров тяжести простых частей. Через центры тяжести простых частей проводят их централь­ные оси, параллель­ные осям Х₀У₀. По известным формулам опреде­ляют пло­щади и моменты инерции простых частей относительно проведенных центральных осей. Если формулы для определения мо­ментов инер­ции даны для центральных осей не параллельных осям Х₀У₀, то по­сле определения моментов инерции относительно этих осей, опреде­ляют мо­менты инерции относительно центральных осей параллель­ных осям Х₀У₀, исполь­зуя формулы для определения моментов инерции при повороте осей.

5-й шаг алгоритма

Определяют пло­щадь сечения F

,

где n – число простых частей; F_i – площадь i -ой части.

Координаты центра тяжести сечения опреде­ляют по формулам

; .

Здесь x_ci, у_ci – координаты цен­тра тяжести i- ой части в системе коор­динат Х₀У₀.

В сечениях, имеющих ось симметрии, центр тяжести находится на этой оси, в сечениях, имеющих две и более осей симметрии, - на пе­ресечении осей симмет­рии.

Отмечают на чертеже центр тяжести и проводят через него цен­т­ральные оси (Х_с , У_с) сечения, параллельные осям Х₀, У₀. Вычис­ляют моменты инер­ции сечения относительно проведенных цен­тральных осей по формулам

;

; (*)

.

Здесь: а_i= у_сi – у_с – расстояние между центральной осью х_i i- ой части и центральной осью Х_c сечения; а_i= у_сi – у_с – рас­стояние между центральной осью у_i i- ой части и цен­тральной осью У_c сечения.

Рас­стояния а_i, b_i определяются с учетом знака.

Вычисляются , , для каждой части и заносятся в табл. 15. Затем находят , , , , , путем суммирова­ния данных, записанных в соответст­вующих столбцах табл. 15. Далее находят I_x(c), I_у(c), I_xу(c), по формулам (*).

6-й шаг алгоритма

Определяют главные центральные моменты инерции сечения по фор­мулам

.

При определении I_u перед корнем берут знак плюс, при определении I_v - знак минус.

Определяют угол a между осью Х_с и главной центральной осью u (осью, отно­сительно которой осевой момент инерции максималь­ный)

.

На чертеже сечения проводят главные центральные оси. Под углом a к оси Х_с через центр тяжести сечения проводят ось u. Ось v проводят через центр тяжести перпендикулярно оси u.