Основные определения и утверждения о равносильности неравенств

Определение. Два неравенства , , , называют равносильными на некотором множестве , если их множества решений совпадают.

Пример. Неравенства и равносильны, так как решением каждого из них служит интервал .

Определение. Пусть на некотором множестве задано неравенство (1). Неравенство , , (2) называют следствием данного неравенства (1), если его множество решений является подмножеством множества решений неравенства (2).

Запись означает, что неравенство (2) есть следствие неравенства (1).

Пример. Неравенство является следствием неравенства . Так как множество решений второго неравенства есть подмножество множества решений первого неравенства .

Два неравенства равносильны тогда, и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теорема 2. Если к обеим частям неравенства (1), прибавить выражение , определенное при всех , то получим новое неравенство (2), равносильное данному неравенству на множестве .

Доказательство. Покажем, что множества истинности неравенств (1) и (2) совпадают, то есть если – множество решений неравенства (1), – множество решений неравенства (2), то .

Пусть - решение неравенства (1), тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим частям этого неравенства , тогда, по свойству истинных числовых неравенств, - истинное числовое неравенство.

Следовательно, является решением неравенства (2), то есть .

Пусть теперь - решение неравенства (2), тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим частям выражение, тогда по свойству истинных числовых неравенств: , получим - истинное числовое неравенство.

Следовательно, является решением неравенства (1), то есть .

Таким образом, , следовательно, неравенства (1) и (2) равносильны.

Ясно, что теорема справедлива и для неравенств вида , , , .

Следствие. Члены неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Теорема 3. Если выражение имеет смысл при всех и положительно на , то неравенства , (1) и , (2), равносильны.

Пусть принадлежит – множеству решений неравенства (1). Тогда справедливо числовое неравенство . Но – некоторое положительное число, так как по условию имеет смысл и положительно при всех , и, в частности, при .

Умножив обе части верного числового неравенства на одно и то же положительное число , получим верное числовое неравенство , которое показывает, что принадлежит и множеству решений неравенства (2). Следовательно,, каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2), то есть .

Пусть теперь принадлежит – множеству решений неравенства (2). Тогда – верное числовое неравенство. Но – некоторое положительное число , следовательно, и . Умножив обе части верного числового неравенства , на одно и то же положительное число , получим верное числовое неравенство , которое показывает, что принадлежит – множеству решений неравенства (1). Следовательно, каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (1), то есть .

Таким образом, – данные неравенства равносильны.

Ясно, что теорема справедлива и для неравенств вида , , , .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Если имеет смысл при всех и отрицательно на , то неравенства , (1) и , равносильны.

Доказательство данной теоремы опустим.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Приведем некоторые утверждения о равносильности неравенств.

Утверждение 1. Неравенства и равносильны.