Теорема 2

1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .