Теорема 1. Нехай функції f(x) i j(x) визначенні і мають похідну в околі точки х0, а в точці х0 , тоді якщо існує границя , то існує границя ,
причому виконується рівність
Доведення. Функції і задовольняють умовам теореми Коші в околі точки , тому
,
де при , а при .
Отже, якщо , то і , тому
.
В останньому виразі замість змінної можна записати змінну , оскільки границя не залежить від позначення змінної.
За допомогою теореми 1 можна розкривати невизначеність вигляду , причому правило Лопіталя можно застосовувати повторно, якщо в процесі функції і їх похідні задовольняють умовам теореми.
У випадку невизначеності користуються такою теоремою.
Теорема 2. Нехай f i j визначені і мають похідну в околі точки
причому j(х), j¢(х)¹0 в цьому околі, тоді, якщо існує , то існує і
До викладеного додамо, що правило Лопіталя залишається справедливим при .
Зауваження. За допомогою теорем 1 і 2 розкриваються такі невизначеності:
1. і .
2. Невизначеності і за допомогою алгебраїчних перетворень зводяться до вигляду або .
3. Невизначеності і за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності .
|
|
Далі ці випадки розглянемо на прикладах.