2015-07-02
219
Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Теорема Ферма (Пьер Ферма, фр., 1601-1665 гг).Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке 
принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х 0 существует конечная производная, то она равна нулю: 
Доказательство.
Пусть функция y = f (x) в точке х 0 принимает наибольшее значение, т.е. 
. Это значит, что для любой точки 
приращение функции 
.
Тогда, если 
, то 
.
Тогда, если 
, то 
.
По условию теоремы, производная в точке х 0 существует. Это возможно лишь в том случае, когда 
. Равенство истинно лишь в одном случае, когда 
, что и требовалось доказать.
Замечания.
1. Геометрический смысл теоремы – касательная к графику функции y = f (x) в точке 
параллельна оси (Ох).
2. Нельзя в условии теоремы рассматривать не интервал 
, а отрезок 
. Например, рассмотрим функцию y = x, определенную на отрезке 
, причем y = 0 – наименьшее значение функции в точке х 0 = 0; y = 1 – наибольшее значение функции в точке х 0 = 1. Но производная в точках х 0 = 0 и х 0 = 1 не равны нулю: 
, т.к для всех х справедливо, что 
2. Теорема Ролля (Ролль Мишель, фр., 1652-1719 гг).Пусть на отрезке определена функция y = f (x), причем:
1) y = f (x) непрерывна на отрезке ,
2) y = f (x) дифференцируема на интервале 
,
3) 
,
тогда на интервале существует точка с, в которой производная 
