Доказательство

Для доказательства введем в рассмотрение на отрезке следующую вспомогательную функцию: .

1) F (x) непрерывна на отрезке , как разность двух непрерывных функций f (x) и ;

2) F (x) дифференцируема на интервале : ;

3) F (а) = F (b), так как

и .

Следовательно, из 1) – 3) следует, что функция F (x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, тогда, по теореме Ролля, , т.е.

, отсюда . Что и требовалось доказать.

Замечания.

1. Значение – угловой коэффициент секущей к графику кривой y = f (x), проходящей через точки M ₁(а, f (а)) и M ₂(b, f (b)). С другой стороны, – угловой коэффициент касательной к графику кривой y = f (x) в точке M (с, f (с)). Из теоремы следует, что касательная к графику кривой y = f (x) в точке М параллельна секущей (М ₁ М ₂).

2. Формула называется формулой конечных приращений Лагранжа.

4. Теорема Коши (Огюстен Луи Коши, фр., 1789-1857 гг).Пусть на отрезке определены функции y = f (x) и y = g (x), причем:

1) y = f (x), y = g (x) непрерывны на отрезке ,

2) y = f (x), y = g (x) дифференцируемы на интервале ,

3)

тогда на интервале существует точка с такая, что .