Вопрос 17. Теорема Винера-Хинчина Примеры использования

Воспользуемся теоремой о спектре свертки и в результате получим, что от интегрирования во временной области можно перейти к интегрированию в частотной области:

∞ +∞

ò s(t)s(t+t)dt= 1/2πò S(jw)e^jwt dw=K_s (t)

-∞ -∞

Учитывая, что произведение комплексных функций равно квадрату модуля S(jw)S*(jw)= S2 (w), приходим к соотношению

K_s (t)= 1/2π ò S² (w) e^jwt dw

На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать обратное преобразование:

¥

S² (w)= ò K_s (t) e^jwt dt

-¥

Итак, полученное прямое преобразование Фурье от корреляционной функции К_s (t) дает спектральную плотность энергии, а обратное преобразование Фурье дает корреляционную функцию К_s (t). Это известная пара преобразований называется – преобразования Винера-Хинчина. Из полученных выражений вытекают свойства, аналогичные отмеченным теоремам о спектрах: чем шире спектр S (w) сигнала, тем меньше интервал корреляции, т. е. сдвиг t, в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно чем продолжительная корреляционная функция заданного сигнала, тем уже его спектр. Кроме того из последних выражений также видно, что корреляционная функция Кs (t) не зависит от фазочастотного (ФЧХ) спектра сигнала. Так как при заданном амплитудном спектре S(w) форма функции s (t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее важное заключение: различным по форме сигналам s (t), обладающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции Кs (t).