Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный. На рис. 1 приведен пример случайного процесса нестационарного по математическому ожиданию. Случайный процесс X(t) является стационарным, если его многомерная плотность вероятности p(x1, x2 , … xn; t1,t2,…tn) зависит только от величины интервалов t2-t1, t3-t1,… tn-t1, и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени т. е.p1(x,t)=p1(x); во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности t2-t1 =t, т.е. p 2 (x1, x2 ; t1 ,t2= p2 (x1, x2 ; t) и т. д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае
|
|
Если x(t) представляет собой случайный ток или напряжение в электрической цепи, то mx – это постоянная составляющая, а Rx (0)– средняя мощность флуктуаций.
Рис.1
Примеры случайных процессов
1. Гармоническое колебание со случайной амплитудой
Пусть x(t)=Acos(w0t+q0)=AcosY(t)
Где w0и q0– постоянные величины; А – случайная величина, имеющая равномерную плотность вероятности в интервале от 0 до A max (рис 4.3 стр.126)
Рис.2
В момент времени t1 мгновенное значение сигнала может быть любым в интервале от 0 до
A max cos Y(t1). Поэтому p(x;t1)=1/ A max cos Y(t1), 0<x< A max cos Y(t1)
График имеет вид рис.4.4.
Рис.3
Математическое ожидание такого процесса равно:
Соответствующие вычисления интегралов дают
Как видно из приведенных соотношений, первые два момента случайного процесса зависят от времени, а, следовательно, этот процесс нестационарный, и неэргодический.
2. Гармоническое колебание со случайной фазой имеет вид:
x(t)= cos(w0t+j)
где j- случайная величина, равновероятная в пределах ±π, а плотность вероятности такого случайного процесса равна
pj(j)=1/2 π, w0t-π <Y<π
Одна из реализаций имеет вид
xk(t)= cos(w0t+qk)=cosYk(t)
где Yk(t)– полная фаза, Yk(t)– также случайная величина, плотность вероятности которой имеет тот же вид PY(Y)=1/2π
Определим вероятность px(x)dx того, что в промежутке времени от t1 до t1+ dt мгновенное значение сигнала окажется в заданном интервале x, x+dx (рис. 4.5cтр.128):
Рис.4
Эта вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы Y в интервалы dYна периоде, которая в свою очередь равна 2pY(Y)dY
|
|
px(x)dx=2pY(Y)dY=(2/2π) dY
Таким образом,
px(x)=1/π1/ dx/ dY, -1<x<1
Так как
Имеем px(x)=(1/π)√1-x2, -1<x<1
График этой функции имеет вид, показанный на рис. 5.
Рис.5
Так как плотность вероятности не зависит от t, то этот процесс является стационарным с математическим ожиданием 1
Mx=1/π ò x/√1-x2 dx=0
-1
причем ту же величину можно получить путем усреднения по времени одной реализации:
T/2
x(t)=lim 1/T ò x(t)dt=lim 1/T ò cos(w0t+qk)dt=0
T→∞ -T/2 T→∞
что указывает на эргодичность процесса. Корреляционная функция этого процесса равна
Rx(t1,t2)=1/2 cos w0t
3. Нормальный (гауссовский) случайный процесс
Такой случайный процесс характерен для помех канала связи. Одномерная плотность вероятности стационарного эргодического нормального случайного процесса определяется выражением
P(x)=1/√2πσx exp[- (x-mx)2/2σx2]
Чем больше σx, тем меньше максимум, кривая (рис. 4.7стр.130) более пологая,
Рис.6
причем всегда т. е. площадь под кривой равна 1 для любых. Широкое распространение нормального закона распределения объясняется тем, что при сложении большого числа независимых случайных слагаемых распределение суммы близко к гаусcовскому при любом законе распределения отдельных слагаемых (центральная предельная теорема). Для Гау-
совского случайного процесса с нулевым средним (mx=0) вероятность того, что модули значений случайной величины превысят величину 3σх составляет 0,997≈1, т.е. полный размах такого случайного процесса не превышает 6σх (правило трех сигма). Отношение максимумов отклонения случайной величины (пиков) к σх называют пик-фактором случайного сигнала. Для гаусовского шума он равен 3, а для гармонического сигнала со случайной фазой √2. Знание px(x) не дает полного представления о поведении случайного сигнала во времени. Медленно меняющаяся и быстро меняющиеся случайные функции могут иметь одинаковые плотности вероятности, что отражено на рис. 7.
А б
Рис.7
Для оценки этих свойств быстротечности используют корреляционные функции.