2015-07-04
425
В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмотрим наиболее характерные случаи.
Пример 2.4, Изображение обобщенного экспоненциального импульса.
Пусть 
, где 
— фиксированное комплексное число. Наличие 
-функции обусловливает равенство 
при 
Воспользовавшись формулой (2.54), имеем
Если 
то числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие
Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса:
и комплексного экспоненциального сигнала:
Наконец, положив в (2.57) 
, находим изображение функции Хевисайда:
Пример 2.5. Изображение дельта-функции.
Если рассматриваемый импульс возникает в момент времени 
, то интеграл
Итак,
Это изображение определено во всех точках комплексной плоскости 
и нигде не имеет особенностей, кроме бесконечно удаленной точки.
Некоторую сложность может представлять вычисление изображения дельта-импульса, сосредоточенного при t = 0, поскольку неясно, как надо учитывать вклад от обобщенной функции, сосредоточенной на одном из концов области интегрирования. Дело в том, что в гл. 1 дельта-функция определялась как предел последовательности импульсов, симметричных относительно точки t = 0. Если поступать формально, то в пределах области интегрирования окажется лишь половина такого импульса, что приведет к двукратному уменьшению интеграла. Для того чтобы этого не произошло, изображение функции 
определяется как предел
не зависящий от параметра 
. При таком подходе функция 
всегда целиком принадлежит области интегрирования, поэтому
