1°. Если матрица А имеет обратную, то А –1 тоже имеет обратную, причем (А –1)–1 = А.
2°. Если матрица А имеет обратную и , то матрица α А также имеет обратную, причем (α А)–1 = (1/α) А –1.
3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .
4°. Если матрицы А и В одного порядка и имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем (АВ)–1 = В –1 А –1.
►Докажем 1-е и 4-е свойства.
Обозначим В = А –1 и покажем, что А является обратной к В. Для этого проверим выполнение равенства (1.18): ВА = А –1 А = Е; АВ = АА –1 = Е.
Теперь покажем, что В –1 А –1 является обратной к С = АВ:
С (В –1 А –1) = (АВ)(В –1 А –1) = А (ВВ –1) А –1 = АЕА –1 = АА –1 = Е;
(В –1 А– 1) С = (В –1 А –1 )(АВ) = В –1(А –1 А) В = В –1 В = Е
(везде используется ассоциативность произведения матриц).◄
Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.
Лемма 1.6 (необходимое условие существования обратной).Если квадратная матрица А имеет обратную, то А – невырожденная матрица.
►На основании свойства 8° § 6 из (1.18) вытекает:
|
|
,
значит, . ◄
Теорема 1.6 (существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная
где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .
► Существование. Пусть . Покажем, что записанная матрица действительно обратная к А. Обозначим – элементы матрицы , , а обозначим матрицу . Тогда
= [теорема аннулирования для строк] = .
Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, приведенная выше матрица удовлетворяет определению обратной к А.
Единственность. Предположим, что некоторая невырожденная квадратная матрица А имеет две разные обратные матрицы: и . Тогда
.◄
Замечание. Мы не только доказали для невырожденной матрицы существование обратной, но даже показали, какая конкретно матрица является обратной данной. Такое доказательство называется конструктивным.