2015-07-21
3664
Иногда по разным причинам матрицу удобно разбить на блоки. Полученная матрица, элементами которой являются опять же матрицы, называется блочной. Например, матрица В разбита на 4 блока, а матрица С – на 6:
,
.
Заметим, что если 
− блочная матрица, то все её элементы − матрицы 
− при фиксированном i имеют одинаковое число строк, а при фиксированном j − одинаковое число столбцов.
Если матрицы имеют одинаковые размеры и разбиты на блоки одинаковым образом, то их можно складывать по тому же принципу, что и обычные. Обычным образом блочные матрицы умножаются и на число.
Умножаются блочные матрицы формально также как обычные. Пусть 
. Тогда
.
При этом необходимо, чтобы существовали все произведения 
. Например, запишем по такому правилу произведение приведенных блочных матриц В и С:
.
Убедимся в том, что в действительности 
. Посчитаем для проверки элемент 
. Чтобы его найти, следует сложить элементы матриц 
и 
, расположенные в первой строке и первом столбце. Итак,
,
что действительно совпадает с соответствующим элементом матрицы 
. Аналогично проверяется равенство остальных элементов.
Для блочных матриц легко задается и операция транспонирования. Например,
,
т. е. блочная матрица транспонируется так же, как и обычная, только все её элементы также заменяются на транспонированные.
Блочную матрицу будем называть блочно-диагональной, если при 
матрицы являются квадратными, их главные диагонали расположены на главной диагонали матрицы В, а при 
. В этом случае нет необходимости нумеровать диагональные блоки двумя индексами, достаточно одного. Блочно-диагональную матрицу с блоками 
на главной диагонали будем обозначать так: 
.
