Транспонирование матриц

Определение. Матрица называется транспонированной к матрице , если

.

Таким образом, из определения видим, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Например, если

, то .

Кроме обозначения A^T для матрицы, транспонированной к А, используют еще и следующие: .

Свойства операции транспонирован ия

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

Первые три свойства практически очевидны. Докажем четвертое, которое формулируется так: если определено произведение матриц АВ, то определено и произведение , причем

. (1.7)

►Пусть . Так как определено произведение АВ, то В имеет размеры , , , а значит, определено произведение . Обозначим , тогда . Как видим, матрицы и из левой и правой частей равенства (1.7) имеют одинаковые размеры, и для доказательства их равенства остается доказать равенство соответствующих элементов.

, (1.8)

. (1.9)

Сравнивая (1.8) и (1.9), видим, что .◄