Метод релаксации

На практике часто в качестве функции выбирают функцию , где – некоторая постоянная. Постоянную выбирают таким образом, чтобы условие выполнялось бы для всех .

При таком выборе функции метод простой итерации называют методом релаксации.

Получим условия на выбор константы :

Таким образом, если , то . Если же , то .

Отсюда видно, что знак постоянной совпадает со знаком производной . Часто берут в виде: , где , .

Убедимся, что такой выбор удовлетворяет условию сходимости. Пусть . Тогда и , и, следовательно, и

, т.к. . Следовательно, .

Пусть теперь . Тогда , и

, т.к. и .

Следовательно, .

ПРИМЕР 1.3. Найдем с точностью второй корень уравнения , лежащий на интервале . Для определения значения параметра необходимо найти максимальное и минимальное значения производной функции на отрезке . Для этого необходимо найти значения на концах интервала и в точках экстремума, где (если эти точки лежат на исследуемом отрезке). Далее среди этих значений выбираютсямаксимальное и минимальное. В нашем случае

,

, при

Экстремум производной находится на заданном отрезке , находим значение производной в этой точке: . Следовательно

, , .

Таким образом, .

Выберем начальное приближение , следующие приближения вычисляются по формуле

, k =0, 1, 2,..

Условием окончания итерационного процесса является условие: или .

Результаты вычислений оформим на рабочем листе Excel в виде таблицы:

	A	B	C
	Номер итерации
		2,133333	0,133333
		2,106983	0,026351
		2,1121	0,005117
		2,111101	0,000999
		2,111296	0,000195

Здесь формулы для вычисления имеют вид: =B2+2/15*(B2^3-6*B2^2+3*B2+11), а для :

=ABS(B3-B2). Остальные вычисления получаются простым копированием формул.