2015-07-21
735
Для метода простой итерации (МПИ) уравнение (1.1) необходимо сначала преобразовать к виду 
. Это всегда можно сделать с помощью эквивалентных преобразований. Далее, выберем начальное приближение 
. Следующие итерации производятся по формуле: 
, т.е. 
, 
, и т.д. Если последовательность 
, 
сходится, то 
, то есть в пределе получаем искомое решение уравнения. Итерационный процесс следует остановить, когда 
. В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка 
: 
.
Привести исходное уравнение (1.1) к виду 
можно бесконечным числом способов. Из всевозможных функций j (x) выбирают ту, которая порождает сходящуюся к корню последовательность .
Достаточное условие сходимости. Пусть 
имеет производную на отрезке , 
и 
для всех 
из отрезка . Тогда итерационный процесс сходится к корню уравнения, т.е. 
.
Доказательство. Из формулы МПИ следует, что
Применяя теорему Лагранжа о среднем, получим
.
Аналогично
, 
и т.д.
Следовательно,
Так как 
, то 
и, следовательно, .
Геометрическая интерпретация метода простой итерации представлена на рис. 1.4 для случаев 
(а), 
(б), 
(в) и 
(г).
 |  |
 |  |
| Рис. 1.4.Сходящийся (а, б) и расходящийся (в, г) МПИ |
