Для уравнений (1.1) метод Ньютона определяется формулой: . Суть метода состоит в замене нелинейной функции f (x) линейной. Геометрическая иллюстрация метода представлена на рис. 1.5. Участок кривой на отрезке заменяется отрезком касательной, проведенной из точки к графику функции . Уравнение касательной имеет вид . Найдем точку пересечения касательной с графиком функции , т.е. с осью абсцисс, и обозначим ее . Тогда уравнение касательной в этой точке будет иметь вид . Отсюда можно найти .
Рис. 1.5. Графическая интерпретация метода Ньютона
Можно показать, что , т.е. метод сходится со вторым порядком.
Метод Ньютона можно трактовать как метод простой итерации, если функцию выбрать в виде .
Замечание. Если известен интервал изоляции, в котором не меняет знак, то в качестве начального приближения берут тот конец интервала изоляции, для которого знаки и совпадают.
ПРИМЕР 1.4. Найдем с помощью метода Ньютона третий корень уравнения , лежащий на интервале , с точностью . Сначала убедимся, что не меняет знака на этом отрезке. при , т.е. на интервале [4,5]. Так как , то на этом конце знаки и совпадают и .
|
|
Вычисления оформим в виде таблицы:
Номер итерации | ||||
4.944444 | 0.027606 | 17.00926 | 0.055556 | |
4.942821 | 2.33E-05 | 16.98059 | 0.001623 | |
4.94282 | 1.66E-11 | 16.98057 | 1.37E-06 |
Здесь , , .
В качестве корня можно взять значение: . Из таблицы видно, что процесс сошелся уже на второй итерации.
Для того, чтобы сравнить методы дихотомии и касательных, найдем первый корень уравнения на отрезке методом Ньютона:
Так как , то на интервале , а так как , то .
Номер итерации | ||||
-2 | -27 | - | ||
-1.30769 | -5.41966 | 23.82249 | 0.692308 | |
-1.08019 | -0.50182 | 19.46272 | 0.227502 | |
-1.05441 | -0.00613 | 18.9882 | 0.025783 | |
-1.05408 | -9.5E-07 | 18.98229 | 0.000323 |
Заданная точность достигается на 4-ой итерации. Напомним, что метод дихотомии (Пример 1.2) достиг точности 0,001 лишь на 10-ой итерации.
Вычислим второй корень нашего уравнения на отрезке . Поскольку вторая производная меняет знак на отрезке при , уменьшим интервал изоляции так, чтобы изменения знака не происходило. Рассмотрим интервал . Вычислим значения функции и второй производной на левом конце отрезка:
, .
Поскольку функция и вторая производная имеют один знак, в качестве начального приближения выбираем .
Номер итерации | ||||
2.1 | 0.101 | -8.97 | - | |
2.11126 | 3.95E-05 | -8.96286 | 0.01126 | |
2.111264 | 6.47E-12 | -8.96286 | 4.4E-06 | |
2.111264 | -8.96286 | 7.22E-13 |
В сравнении с методом простой итерации значение корня было получено за две итерации вместо шести.
Эти примеры показывают, что метод Ньютона сходится быстрее, чем метод дихотомии и метод простой итерации. Но для его использования необходимо выбирать начальное приближение, достаточно близкое к корню.
|
|
Упрощенный метод Ньютона. Эта модификация метода Ньютона используется, если производная представляет собой сложную функцию, и для ее вычисления на каждой итерации тратится много времени. Зададим – начальное приближение и вычислим производную . На следующих итерациях используется вычисленное значение производной: . Это упрощение несколько замедляет процесс сходимости к решению, однако сокращает время каждого итерационного цикла.