В этом методе кривая заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки и . В зависимости от знака выражения метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.6, а, б.
Пусть (рис. 1.6, а). Тогда , точка будет оставаться неподвижной. Следующее приближение находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки и с осью . Поскольку уравнение хорды записывается как , то точка пересечения хорды с осью находится из выражения: .
Рис. 1.6. Метод хорд для (a)и (b) |
Пусть теперь (рис. 1.6, б). Тогда , точка неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки и : . Вычисляем точку пересечения хорды с осью : . На следующей итерации в качестве надо взять вычисленное значение и т.д. Таким образом, мы получим следующую последовательность вычислений в зависимости от вида функции:
Если , то и . Если же , то и , где - номер итерации.
Окончание итерационного цикла в данном методе происходит либо по условию малости невязки уравнения: , либо по условию .
ПРИМЕР 1.5. Найти первый и третий корень уравнения методом хорд.
|
|
Концы интервала изоляции для первого корня и , соответственно. Проверим знак выражения для данного уравнения:
. Таким образом, расчет ведется по формулам: и . В результате получим таблицу:
Номер итерации | |||
-1 | - | ||
-1.03571 | 0.345618 | 0.035714 | |
-1.0479 | 0.117007 | 0.012187 | |
-1.05201 | 0.039334 | 0.004108 | |
-1.05339 | 0.013192 | 0.001379 | |
-1.05385 | 0.004421 | 0.000462 |
Заданная точность достигнута на пятой итерации.
Для третьего корня , , и , следовательно, расчет ведется по вторым формулам: и . Результаты вычислений показаны ниже:
Номер итерации | |||
-9 | - | ||
4.9 | -0.711 | 0.9 | |
4.941555 | -0.02147 | 0.041555 | |
4.942783 | -0.00062 | 0.001229 | |
4.942819 | -1.8E-05 | 3.57E-05 |
Заданная точность достигнута на четвертой итерации.