Интегрирование по частям

Непосредственное интегрирование

Используя основные свойства интегралов можно в ряде случаев свести интегрирование к табличным интегралам (формулам). Например.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = 3x²

Решение: ищем интеграл ∫f(x)dx = ∫3x²dx. По свойству 2 постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. ∫3x²dx = 3∫x²dx.

Получившийся интеграл является табличным, действительно: ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹/n+1)+C, (n≠1). В нашем случае n = 2, т.е.

3∫x²dx = 3[(x²⁺¹/2+1)+C] = 3[(x³/3)+C] = 3*(x³/3)+3*C = x³+3C

Т.к. С - произвольная постоянная, то мы можем взять ее в виде 3С, т.е. имеем право записать: ∫ 3x²dx = x³ + C – конечный ответ.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cos(x)+ x²

Решение: ищем интеграл ∫f(x)dx = ∫(cos(x)+ x²)dx. По свойству 3 интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.: ∫(cos(x) + x²)dx = ∫(cos(x))dx + ∫(x²)dx

Каждый из этих интегралов в отдельности является табличным, следовательно, можно записать: ∫(cos x+ x²)dx = ∫cos x dx + ∫x²dx = sin x + x³/3 + C