Метод подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную)

Метод подстановки применяется тогда, когда искомый интеграл не является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному.

Сущность применения этого метода состоит в том, что в данном интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле x=φ(t) и, следовательно, dx произведением φ'(t)dt. Примеры можете приводить свои.

Пример 1: Необходимо найти интеграл

Решение: среди табличных интегралов подходящего нет, но по формуле 1 (∫ xⁿdx=(xⁿ⁺¹/n+1)+C, n≠1) можно вычислить интеграл вида , сходный с данным.

Чтобы привести исходный интеграл к этому виду попробуем ввести вспомогательную переменную, например, z, связанную с исходной переменной х зависимостью: 2x-1 = z - (1).

Теперь мы готовы в исходный интеграл вместо подкоренного выражения нашу новую переменную. Однако нам еще надо подготовить замену, т.к. вместо dx у нас, согласно формуле, должно появиться выражение вида (...)dx.

Дифференцируя формулу (1), получаем: d(2x-1)=d(2x) - d(1)=2dx - 0=2dx

т.е. dz = 2dx

Теперь наша подстановка полностью готова и мы выполняем ее:

Вспомним, теперь, что мы делали замену на вспомогательную переменную (2x-1=z), от которой теперь мы должны вернуться к исходной, т.е.:

3)

4) Интегрирование по частям

Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то d(uv) = udv + vdu. Отсюда udv = d(uv) - vdu

Интегрируя обе части этого равенства, имеем ∫udv = uv - ∫vdu

Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы. Или, иными словами, интегрированием по частям называется сведение данного интеграла ∫udv к интегралу ∫vdu с помощью вышеприведенной формулы. Этот прием ведет к цели, если ∫vdu находится легче, чем ∫udv (пример №1) или если один из этих интегралов выражается через другой.

Пример 1. Найти интеграл ∫e^xxdx.

Решение: Представляем подынтегральное выражение в виде

х (e^xdx) = x de^x. Здесь роль u играет х, роль v - функция e^x. Применим формулу (2): ∫ x de^x=x e^x - ∫e^xdx.

Интеграл ∫e^xdx - табличный (в отличие от исходного интеграла, который иными способами найти будет крайне затруднительно). Вычисление ведется так: ∫e^xxdx = ∫xde^x = xe^x - ∫e^xdx = xe^x - e^x + C

Ответ: ∫e^xxdx = xe^x - e^x + C