Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим площадь криволинейной трапеции, т.е. площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком непрерывной функции f(x) и прямыми

x = a, x = b.

Разобьем интервал [a, b] на частичные интервалы некоторыми точками x_i. Построим прямоугольники на этих новых интервалах, каждый с высотой, равной значению функции в точке разбиения. Тогда площадь каждого такого прямоугольника равна: S_i = f(x_i)-dx_i где dx_i = x_i+1-x_i-1

Площадь образовавшейся ступенчатой фигуры S_n будем считать приближенным значением искомой площади криволинейной трапеции S. При этом учтем, что чем меньше будут диаметры разбиения (т.е., чем чаще мы будем ставить точки разбиения, и чем меньше будут значения dx - длин интервалов разбиения), то тем более точным будет соответствие площади ступенчатой фигуры площади криволинейной трапеции.

Это выражение называют интегральными суммами.

А при стремлении диаметра разбиения к нулю площадь ступенчатой фигуры, (которая как раз и вычисляется как интегральная сумма) будет равна точному значению площади криволинейной трапеции, т.е.:

Следовательно, понятие определенного интеграла вводится следующим образом: определенным интегралом называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма при стремлении диаметра разбиения к нулю.

Таким образом геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, пределами интегрирования и графиком подынтегральной функции.