А. Ряд Тейлора

Функция , однозначная и аналитическая в точке (регулярная в ), представляется в окрестности этой точки рядом Тейлора

, (1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам

, (2)

Круг сходимости ряда (1) имеет центр в точке . Его граница проходит через ближайшую к особую точку функции . Иначе: радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от центра до ближайшей особой точки функции .

Имеет место единственность представления аналитической функции степенным рядом: всякий степенный ряд вида (1) является рядом Тейлора для своей суммы .

Пример 1. Найти первые три члена разложения функции в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Коэффициенты ряда определяются по формулам (2), где . Находим сначала производные:

, .

По формулам (2) находим тейлоровские коэффициенты:

Значит,

Особые точки функции найдем из условия равенства нулю знаменателя: . Из полученных точек ближайшими к центру круга являются точки их расстояние от центра равно . Значит, радиус сходимости полученного ряда . ☻

Задача 1. Найти несколько первых членов разложения функции в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Ответ: .

Пример 2. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и найти радиус сходимости ряда.

Решение. Представим данную функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

Первое слагаемое при есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии (см. пр.1 §8): , этот ряд сходится в круге .

Второе слагаемое преобразуем так, чтобы опять можно было получить сумму геометрического ряда, то есть выделим множитель , где – знаменатель прогрессии: . При получаем сумму членов бесконечной геометрической прогрессии:

Этот ряд сходится в круге (в частности, он сходится в круге с меньшим радиусом).

Осталось сложить полученные ряды:

Ряд, стоящий справа, сходится в круге , то есть радиус сходимости .

Можно было из условия найти особые точки заданной функции: и вычислить радиус сходимости как расстояние ближайшей из них от точки . Естественно, опять приходим к результату . ☻

Задача 2. Показать, что функция в окрестности точки представляется рядом

(*)

Задача 3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням и найти радиус сходимости полученного ряда.

Ответ:

Пример 3. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Требуется разложить данную функцию по степеням . Предварительно преобразуем функцию к виду , выделяя разность :

.

Заменяя в разложении (*) на , получим

.

Это разложение имеет место при условии т.е. . Значит, радиус сходимости ряда . Это же значение для получим, определяя расстояние особой точки данной функции от центра . ☻

Полезно запомнить:

Задача 4. Используя бесконечную геометрическую прогрессию, разложить функцию в ряд по степеням . Найти радиус сходимости полученного ряда.

Ответ:

Пример 4. Разложить функцию в ряд Тейлора, ..

Решение. Воспользуемся разложением функции :

.

В круге этот ряд сходится равномерно, поэтому его можно почленно дифференцировать. Находим последовательно