2015-07-14
1760
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой. Формула Даламбера.
2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.
3. Найти решение смешанной задачи
, 
,
ГУ: 
; НУ: 
.
4. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна?
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:
, 
, 
,
начальные условия: 
, 
.
Решение задачи будем искать в виде суммы прямой и обратной бегущих волн:
.
Воспользуемся для нахождения функций 
и 
начальными условиями:
: 
,
: 
.
Интегрируя уравнение в пределах от 
до 
, получим
.
Тогда из системы
, ,
находим
,
.
Значит,
.
Итак, решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид
.
Это формула Даламбера.
2. Теорема сложения вероятностей. Если события 
и 
совместны, то
.
Доказательство. Пусть 
– числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться события 
и 
. Пусть 
– число тех исходов, которые благоприятствуют событию , 
– число тех исходов, которые благоприятствуют событию 
, 
– число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий 
. Тогда событию 
благоприятствуют исходы числом 
. Значит, по формуле классической вероятности
.
Следствие. Если события 
и 
несовместны, то 
и
.
Для трех событий 
, 
и 
теорема сложения имеет вид
.
Для 
событий теорема сложения имеет вид
.
Противоположные события 
и 
несовместны и в сумме дают достоверное событие, поэтому
,
откуда получаем формулу для вероятности противоположного события
.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий 
, 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку 
(при 
задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, т.е. 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения 
, ;
собственные функции 
, .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, , воспользуемся начальным условием 
.
Начальное условие 
дает
,
откуда
, 
, 
.
Тогда решение задачи есть
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – появление при выборе длинного волокна. По условию вероятность «успеха» равна 
. Проведено 
испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 2 раза (т.е. среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна), равна
.
