2015-07-14
432
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке 
при нулевых граничных условиях 
.
2. Плотность распределения вероятностей случайной величины. Её связь с функцией распределения. Вывести формулу для нахождения вероятности попадания случайной величины в промежуток 
, если известна её плотность вероятности.
3. Найти решение смешанной задачи
, 
,
ГУ: 
; НУ: 
.
4. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных, а во второй 10, из которых 9 стандартных. Из второй коробки взята наудачу лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, 
, 
,
граничные условия: ;
начальные условия: 
, 
.
Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку 
(при 
задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, т.е. 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения 
, ;
собственные функции 
, .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, 
, , воспользуемся начальными условиями , .
Разложим функции 
и 
на отрезке 
в ряды Фурье по системе 
:
,
,
где
,
,
так как 
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
.
Находим 
:
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
, .
Тогда решением задачи является ряд
.
2. Пусть 
– функция распределения случайной величины 
. Функцию 
называют плотностью распределения вероятностей случайной величины 
(или плотностью вероятности).
Из равенства следует, что 
. Действительно, так как , то 
. Тогда, т.к. 
,
.
Кроме того, поскольку 
, то 
.
Условие 
называется условием нормировки.
С помощью плотности распределения вероятностей можно рассчитывать вероятность попадания случайной величины 
в промежуток . Поскольку
,
то
.
3. Поскольку граничные условия задачи 
, 
– неоднородные, то сначала сделаем замену, сводящую к однородным краевым условиям. Положим
,
где 
– новая неизвестная функция, а числа 
и 
подберем так, чтобы 
удовлетворяла граничным условиям: 
, 
. Тогда
, 
,
откуда 
, 
.
Итак, делаем замену
.
Тогда
, 
, 
,
: 
,
: 
,
: 
.
Итак, для функции получим смешанную задачу
, , 
,
, ,
.
Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение 
. Его нетривиальные решения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, .
Тогда функция является решением уравнения
.
Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , 
, значит, , 
. Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, , т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения 
, ;
собственные функции 
, .
Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде
,
где функции 
, , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функция 
при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям , . Находим производные
, 
, 
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
.
Тогда функции , , удовлетворяют уравнениям
,
, 
.
Начальные условия для этих уравнений получим, подставив в начальное условие , которое сначала представим на отрезке 
в виде ряда Фурье по системе функций 
:
,
где
.
Находим
,
,
,
при 
,
при 
.
Таким образом,
,
.
Если 
, 
, то 
, если 
, , то 
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда получим начальные условия для 
:
, 
,
Тогда для , , получим задачи Коши
, 
,
, , 
,
, , 
.
Решаем эти задачи:
, 
, ,
, .
Тогда
.
Возвращаясь к неизвестной функции 
по формуле , получим
.
4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие
– лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
Введем гипотезы:
– из второй коробки в первую переложена стандартная лампа;
– из второй коробки в первую переложена нестандартная лампа.
Поскольку всего во второй коробке 10 ламп, из которых 9 стандартных, то вероятности гипотез
, 
.
Найдем условные вероятности 
, 
.
Если из второй коробки в первую переложили стандартную лампу (гипотеза 
), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 19 стандартных, значит,
.
Если из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу (гипотеза 
), то в первой коробке стало 21 радиолампа, из которых 18 стандартных, значит,
.
Тогда по формуле полной вероятности
.
