Экзаменационный билет № 07

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях .

2. Формула Бернулли (с доказательством).

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце .

ГУ: .

4. Случайная величина задана плотностью вероятности определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, , ,

граничные условия: ;

начальные условия: , .

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид

Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , , ;

собственные функции , , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

, .

При получим уравнение , откуда

При общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , .

Разложим функции и на отрезке в ряды Фурье по системе :

где

так как .

Тогда начальное условие дает

откуда

, .

Находим :

Тогда начальное условие дает

откуда

, , , .

Тогда решением задачи является ряд

2. Схемой Бернулли (или последовательностью независимых испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям:

1) в каждом испытании возможны лишь два исхода – появление некоторого события (которое мы будем называть "успехом") или его не появление, т.е. осуществление события (в этом случае мы будем говорить, что испытание закончилось "неудачей");

2) испытания являются независимыми, т.е. исход -го испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна .

Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим через : .

При рассмотрении схемы Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события, состоящего в том, что в испытаниях успех появится ровно раз, . Обозначим эту вероятность через .

Теорема. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно успехов, определяется формулой Бернулли

, .

Доказательство. Обозначим событие "появление успеха" через У, а событие "появление неудачи" через Н. Тогда элементарными исходами последовательности из независимых испытаний будут всевозможные цепочки длины , состоящие из событий У и Н. Всего существует различных цепочек такого вида. Посчитаем вероятности элементарных исходов. В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У, У являются независимыми и согласно теореме умножения вероятность того, что в испытаниях успех появился раз, равна , . Поскольку всего существует способов расположить «успехов» среди испытаний, то .