Экзаменационный билет № 04

1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве. Формула Кирхгофа

2. Функция распределения случайной величины, её свойства. Доказать, что неубывающая.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса . ГУ: .

4. Баскетболист попадает в корзину с вероятностью . Он делает 5 бросков. Найти вероятность того, что успешными будут только первый и третий.

1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве имеет вид

, , , ,

начальные условия: , .

Функции – начальные возмущения, – начальные скорости.

Используя операцию усреднения по сфере к уравнению и начальным условиям, получаем решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения в виде формулы Кирхгофа

где – сфера радиуса с центром в точке .

2. Определение. Функцией распределения случайной величины называется определенная на всей числовой оси функция

Основные свойства функции распределения:

1) для всех ;

2) , ;

3) – неубывающая на , т.е. для любых из того, что следует, что .

Докажем последнее свойство. Пусть , – произвольные действительные числа, причем . Тогда

откуда

то есть .

Кроме того, при доказательстве была получена формула

которая позволяет проводить расчет вероятностей для случайной величины, если известна её функция распределения.

3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается в круге радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области , т.е.