Экзаменационный билет № 03

1. Смешанная задача для однородного волнового уравнения на полупрямой.

2. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ: .

4. Случайная величина принимает только 2 значения: 1 и (–1), каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой имеет вид:

, , ,

начальные условия: ,

краевое условие: .

Рассмотрим сначала задачу на всей прямой и предположим, что функции и в начальных условиях нечетные, т.е. и . Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой дается формулой Даламбера

Найдем :

(интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку интегрирования).

Итак, если в задаче Коши на прямой начальные данные – нечетные функции, то в любой момент времени будет выполнено .

Тогда решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на полупрямой записывается по формуле Даламбера

где , продолженные нечётным образом на отрицательную часть оси функции и соответственно, то есть

2. Обозначим условную вероятность – вероятность события при условии, что событие произошло.

Теорема. Для любых событий и , ,

Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться события и . Пусть – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий . Тогда по формуле классической вероятности

Аналогично получаем

Из этих формул следует теорема умножения вероятностей:

События и называются независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется в зависимости от того, появилось другое событие или нет.

В этом случае:

Для трех событий , и теорема умножения имеет вид

а для независимых событий

3. Уравнение задачи является неоднородным. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Его нетривиальные решения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , ;

собственные функции , .

Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде

где функции , , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функция при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям , . Находим производные