Экзаменационный билет № 02

1 2 3 4 5 6 7

1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой.

2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ: .

4. Плотность вероятности случайной величины имеет вид , . Найти вероятность того, что попадет на .

1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:

, , ,

начальные условия: , .

Для решения этой задачи разобьем её на две:

Тогда . Функцию можно записать по формуле Даламбера

Для нахождения строим вспомогательную задачу

, ,

при этом .

Функция также может быть записана по формуле Даламбера

а потому

и, таким образом,

2. События образуют полную группу попарно несовместных событий, если:

а) они являются попарно несовместными, т.е. при ;

б) .

Теорема. Пусть – некоторое событие, а события образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда имеет место формула полной вероятности

Доказательство. Заметим, что событие можно представит в виде суммы попарно несовместных событий (рис.):

Рис.

Используя теорему сложения, получим

Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения

получим

События называют гипотезами.

Часто бывает, что событие может происходить при двух взаимоисключающих условиях и . Если , то события и образуют полную группу событий и формулу полной вероятности можно записать в виде

Теорема. Пусть события удовлетворяют условиям, сформулированным в условии теоремы о формуле полной вероятности и . Тогда справедлива формула Байеса

Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим

откуда

Далее, расписав в знаменателе по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса.

Вероятности гипотез называют еще априорными вероятностями, а вероятности – апостериорными вероятностями ( – до опыта, – после опыта).

Если гипотезы две – и , то формулы Байеса для апостериорных вероятностей имеет вид

, .

3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид

Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля: