2015-07-14
514
1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой.
2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.
3. Найти решение смешанной задачи
, 
,
ГУ: 
; НУ: 
.
4. Плотность вероятности случайной величины 
имеет вид 
, 
. Найти вероятность того, что 
попадет на 
.
1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:
, 
, 
,
начальные условия: 
, 
.
Для решения этой задачи разобьем её на две:
Тогда 
. Функцию 
можно записать по формуле Даламбера
.
Для нахождения 
строим вспомогательную задачу
,
, 
,
при этом 
.
Функция 
также может быть записана по формуле Даламбера
,
а потому
,
и, таким образом,
2. События 
образуют полную группу попарно несовместных событий, если:
а) они являются попарно несовместными, т.е. 
при 
;
б) 
.
Теорема. Пусть 
– некоторое событие, а события образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда имеет место формула полной вероятности
.
Доказательство. Заметим, что событие 
можно представит в виде суммы попарно несовместных событий (рис.):
.
Рис.
Используя теорему сложения, получим
.
Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения
,
получим
.
События 
называют гипотезами.
Часто бывает, что событие 
может происходить при двух взаимоисключающих условиях 
и 
. Если 
, то события 
и 
образуют полную группу событий и формулу полной вероятности можно записать в виде
.
Теорема. Пусть события 
удовлетворяют условиям, сформулированным в условии теоремы о формуле полной вероятности и 
. Тогда справедлива формула Байеса
.
Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим
,
откуда
.
Далее, расписав в знаменателе 
по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса.
Вероятности гипотез 
называют еще априорными вероятностями, а вероятности 
– апостериорными вероятностями (
– до опыта, 
– после опыта).
Если гипотезы две – 
и 
, то формулы Байеса для апостериорных вероятностей имеет вид
, 
.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий 
, 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то 
является собственным значением, а 
– соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь 
(при 
задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид
.
Тогда 
. Из краевого условия получаем: 
, 
, т.е. 
и 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , 
, ;
собственные функции , 
, .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, 
.
При 
получим уравнение 
, откуда
.
При общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, , воспользуемся начальным условием 
.
Из начального условия получаем:
,
откуда
, 
, 
, 
, 
.
Тогда решением задачи является функция
.
4. Вероятность того, что попадет на найдем, интегрируя плотность от 
до 
:
.
