Экзаменационный билет № 06

3 4 5 6 7 8 9

1. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях .

2. Формула Пуассона (с доказательством).

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса . ГУ: .

4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выпадений герба при десяти подбрасываниях монеты.

1. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, , ,

граничные условия: ;

начальные условия: , .

Сначала найдем общее решение однородного уравнения при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , ;

собственные функции , .

Разложим функции , , в ряды Фурье на отрезке по системе собственных функций :

где

так как .

Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения будем искать в виде ряда

где функции , , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальным условиям. Заметим, что функция при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям . Находим производные

, ,

и подставляем их в неоднородное уравнение :

откуда получим, что функции , , удовлетворяют уравнениям

Из начальных условий получаем:

откуда

, .

Итак, функции , , являются решениями задачи Коши

, .

Найдем её решение методом вариации. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Находим :

Положим

Тогда

Находим :

Подставляем в уравнение:

Итак, для определения и получим систему линейных уравнений

Решаем её по формулам Крамера

, .

Тогда

, .

Из начальных условий , получим

Интегрируя от 0 до , получим

, ,

Тогда

Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях в виде

2. Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли , , причем , где – некоторая положительная постоянная (), то

при любом постоянном , .

Доказательство. Обозначим . Тогда

Поскольку постоянно, то все сомножители, начиная с третьего при стремятся к единице; второй же сомножитель при стремится к (второй замечательный предел). Тогда

Таким образом, если число испытаний по схеме Бернулли велико, а вероятность успеха в одном испытании достаточно мала, то вероятность того, что в испытаниях успех появится ровно раз, может быть приближенно посчитана по формуле

3. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области , т.е.

, , .

Итак, в области имеем

Для нахождения , , , , воспользуемся граничным условием :

откуда

, , , , ,

, .

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, .

По условию , поэтому окончательно решение заданной внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид

4. Здесь мы имеем дело с испытаниями по схеме Бернулли, где «успех» – выпадение герба при подбрасывании монеты, вероятность «успеха» , всего испытаний. Случайная величина – число выпадений герба при десяти подбрасываниях монеты – имеет биномиальное распределение. Поскольку для биномиального распределения