Экзаменационный билет № 11

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях .

2. Вывести формулу для нахождения вероятности попадания случайной величины в промежуток , если .

3. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения

НУ: .

4. Имеется два ящика, содержащих по десять деталей. В первом из них 8, а во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, , ,

граничные условия: ;

начальное условие: .

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид

Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , , ;

собственные функции , , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

, .

При получим уравнение , откуда

При общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Для нахождения коэффициентов , , воспользуемся начальным условием .

Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по системе :

где

так как .

Тогда начальное условие дает

откуда

, .

Тогда решением задачи является ряд

2. Теорема. Если , то может быть вычислена по формуле

где .

Доказательство. Если , то её плотность распределения вероятности равна

Тогда

Сделаем в интеграле замену

, , , , .

Тогда

3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой

, , ,

, .

представляется формулой Даламбера

У нас , , . Тогда

Для построения решения нарисуем на фазовой плоскости линии характеристик , , , . Эти линии разбивают фазовую плоскость на шесть областей, в каждой из которых нужно найти решение.