Экзаменационный билет № 09

1. Уравнение теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой. Формула Пуассона.

2. Дисперсия случайной величины, свойства. Вывести формулу для нахождения дисперсии случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения вероятностей.

3. Решить задачу Коши для неоднородного волнового уравнения

, , ,

НУ: .

4. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами 5 см и (0,9 см)². Найти вероятность того, что отклонение диаметра наудачу взятой детали от её математического ожидания будет меньше 2 см.

1. Уравнение теплопроводности имеет вид:

где – температура тела в точке в момент времени , – коэффициент температуропроводности.

Задача Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой имеет вид

, ,

начальное условие: – температура в начальный момент времени.

Получим её решение. Возьмем . Тогда

, , .

Подставив в уравнение, получим

откуда . Тогда

При получим

С помощью обратного преобразования Фурье

Тогда

Меняя порядок интегрирования, получим

Приведем экспоненту к виду :

Тогда

так как

Значит,

Обозначим

Тогда получим формулу Пуассона, которая дает решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой:

2. Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения от :

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины около среднего значения (математического ожидания).

Свойства дисперсии:

1) ;

2) тогда и только тогда, когда ;

3) ;

4) для любых ;

5) если случайные величины и независимы, то .

Докажем свойство 3):

Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсия вычисляется соответственно по формулам:

Найдем дисперсию биномиального распределения. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение, т.е. она принимает значения от 0 до с вероятностями

, ,

и является числом успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха , . Рассмотрим бернуллиевых случайных величин , которые принимают два значения: 1 с вероятностью , если соответствующее испытание закончилось успехом, и 0 с вероятностью в противном случае. Тогда

, , .

Кроме того, независимы и . Значит, по свойству 5) дисперсии дисперсия биномиального распределения равна

3. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения

, , ,

, ,

будем искать в виде

где – решение задачи

, , ,

, ,

а – решение задачи

, , ,

, .

Функцию находим по формуле Даламбера

Функция находится по формуле

Тогда

4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением в промежуток используется формула