2015-07-14
623
1. Уравнение Лапласа. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга.
2. Правило трёх сигм (с доказательством).
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, 
,
ГУ: 
;
НУ: 
.
4. Найти вероятность того, что при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза.
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где 
– оператор Лапласа.
Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса 
ставится следующим образом:
при 
,
,
где 
– оператор Лапласа в полярных координатах 
, 
(
, 
), 
– заданная функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем 
в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, 
.
Таким образом, для 
получаем задачу на собственные значения
,
.
Если 
, то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, 
, 
, 
.
Если 
, то
.
Следует взять 
иначе не выполнится условие периодичности.
При 
ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, 
.
Чтобы решить уравнение для 
при , сделаем замену 
. Получим
, 
,
откуда
,
т.е.
, 
.
При получим 
.
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения 
. Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса 
, то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области 
, т.е.
, 
, 
.
Итак, в области 
имеем
.
Для нахождения 
, 
, 
, , воспользуемся краевым условием 
. Разложим функцию 
в тригонометрический ряд Фурье в промежутке 
:
,
где 
, 
, 
, .
Тогда краевое условие 
дает равенство
,
откуда
, 
, 
, .
Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид
.
2. Пусть случайная величина 
распределена нормально с параметрами 
и 
. Тогда вероятность попадания её в промежуток 
вычисляется по формуле
,
где 
, причем 
– нечетная функция: 
.
Найдем вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую по модулю, чем три среднеквадратических отклонения, т.е. найдем вероятность 
.
Поскольку
,
то по приведенной выше формуле получим
.
Поскольку 
, то
.
Это т.н. «правило трёх сигм» – с вероятностью 
(т.е. практически достоверно) значения нормальной случайной величины лежат в интервале 
.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий 
, 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, .
Поскольку 
(при 
задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, т.е. 
.
Из краевого условия получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, 
, , воспользуемся начальными условиями 
, 
.
Разложим функцию 
на отрезке 
в ряд Фурье по системе 
:
,
где
.
Находим
,
при 
,
при 
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
, 
.
Находим 
:
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, .
Тогда решение задачи есть ряд
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух монет двух гербов. Поскольку при подбрасывании двух монет возможно четыре исхода – ГГ, ГР, РГ и РР (Г – выпадение герба, Р – выпадение решки), то вероятность «успеха» равна 
. Проведено 
испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 4 раза (т.е. при восьми подбрасываниях двух монет два герба появятся ровно 4 раза), равна
.
