Экзаменационный билет № 10

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях .

2. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Вывести формулу для нахождения математического ожидания случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения вероятностей.

3. Решить задачу Неймана для уравнения Лапласа вне круга радиуса . ГУ: .

4. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора является стандартной.

1. Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:

, , ,

граничные условия: ;

начальное условие: .

Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , ;

собственные функции , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Для нахождения коэффициентов , , воспользуемся начальным условием .

Разложим функции на отрезке в ряд Фурье по системе :

где

так как .

Тогда начальное условие дает

откуда

, .

Тогда решением задачи является ряд

2. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , называется ряд (в предположении, что он абсолютно сходится)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью , называется интеграл (в предположении, что он абсолютно сходится)

Математическое ожидание показывает какое значение в среднем принимает случайная величина.

Свойства математического ожидания:

1) , ;

3) ;

4) если случайные величины и независимы, то .

Найдем математическое ожидание биномиального распределения. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение, т.е. она принимает значения от 0 до с вероятностями

, ,

и является числом успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха , . Рассмотрим бернуллиевых случайных величин , которые принимают два значения: 1 с вероятностью , если соответствующее испытание закончилось успехом, и 0 с вероятностью в противном случае. Тогда

, .

Кроме того, независимы и . Значит, по свойству 3) математического ожидания для биномиального распределения получим

3. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области , т.е.