1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях .
2. Функция Лапласа . Доказать нечетность этой функции. Связь между функциями и .
3. Привести к каноническому виду
.
4. Найти вероятность того, что при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза.
1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, , ,
граничные условия: ;
начальное условие: .
Сначала найдем общее решение однородного уравнения при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Разложим функции , в ряды Фурье на отрезке по системе собственных функций :
,
,
где
,
так как .
Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности будем искать в виде ряда
,
где функции , , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функция при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям . Находим производные
, ,
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
,
откуда получим, что функции , , удовлетворяют уравнениям
.
Из начального условия получаем:
,
откуда
.
Итак, функции , , являются решениями задачи Коши
,
.
Найдем её решение методом вариации. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
.
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Находим :
.
Подставляем в уравнение:
,
,
.
Из начального условия получим
.
Интегрируя от 0 до , получим
, ,
.
Тогда
.
Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности при нулевых граничных условиях в виде
.
2. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . При расчете вероятностей, связанных с нормальными случайными величинами используют функции и . Они определяются следующими равенствами:
, .
Функция называется функцией Лапласа.
Графики этих функций имеют вид:
Свойства функции :
1) ;
2) возрастает на всей числовой оси;
3) – нечетная функция, т.е. для любого .
Докажем свойство 3):
.
Функции и связаны равенством
.
3. У нас , , . Определим тип уравнения. Поскольку , то во всей плоскости уравнение является эллиптическим. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид
, ,
решаем его:
, , .
Для приведения к каноническому виду сделаем в уравнении замену
, .
Выражаем частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:
,
,
,
,
.
Значения производных подставляем в заданное дифференциальное уравнение:
,
,
,
– каноническая форма эллиптического уравнения.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме четырёх очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков возможно всего исходов, а сумме 4 может появиться тремя способами: , , , то вероятность «успеха» равна . Проведено испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза), равна
.