2015-07-14
815
1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке 
при нулевых граничных условиях 
.
2. Функция Лапласа 
. Доказать нечетность этой функции. Связь между функциями 
и 
.
3. Привести к каноническому виду
.
4. Найти вероятность того, что при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза.
1. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности на отрезке при нулевых граничных условиях имеет вид:
, 
, 
,
граничные условия: ;
начальное условие: 
.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения 
при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку 
(при 
задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, т.е. 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
, собственные функции 
, .
Разложим функции 
, 
в ряды Фурье на отрезке 
по системе собственных функций 
:
,
,
где
,
так как 
.
Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности будем искать в виде ряда
,
где функции 
, , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальному условию. Заметим, что функция 
при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям . Находим производные
, 
, 
и подставляем их в неоднородное уравнение :
,
,
откуда получим, что функции , , удовлетворяют уравнениям
.
Из начального условия получаем:
,
откуда
.
Итак, функции , , являются решениями задачи Коши
,
.
Найдем её решение методом вариации. Общее решение соответствующего однородного уравнения 
имеет вид
.
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Находим 
:
.
Подставляем в уравнение:
,
,
.
Из начального условия получим
.
Интегрируя от 0 до 
, получим
, 
,
.
Тогда
.
Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности при нулевых граничных условиях в виде
.
2. Пусть случайная величина 
имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
. При расчете вероятностей, связанных с нормальными случайными величинами используют функции и . Они определяются следующими равенствами:
, 
.
Функция называется функцией Лапласа.
Графики этих функций имеют вид:
Свойства функции :
1) 
;
2) возрастает на всей числовой оси;
3) – нечетная функция, т.е. для любого 
.
Докажем свойство 3):
.
Функции и связаны равенством
.
3. У нас 
, 
, 
. Определим тип уравнения. Поскольку 
, то во всей плоскости уравнение является эллиптическим. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид
, 
, 
решаем его:
, 
, 
.
Для приведения к каноническому виду сделаем в уравнении замену
, 
.
Выражаем частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:
,
,
,
,
.
Значения производных подставляем в заданное дифференциальное уравнение:
,
,
,
– каноническая форма эллиптического уравнения.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме четырёх очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков возможно всего 
исходов, а сумме 4 может появиться тремя способами: 
, 
, 
, то вероятность «успеха» равна 
. Проведено 
испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при шести подбрасываниях двух игральных кубиков четыре очка в сумме появятся ровно 3 раза), равна
.
