Экзаменационный билет № 13

1. Уравнение Лапласа. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).

3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой

4. Найти функцию распределения случайной величины , заданной плотностью вероятности .

1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида

где – оператор Лапласа.

Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ), – заданная функция.

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Кроме того, нужно поставить условие ограниченности решения в центре круга.

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается внутри круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными при , т.е.

, , .

Итак, в области имеем

Для нахождения , , , , воспользуемся краевым условием . Разложим функцию в тригонометрический ряд Фурье в промежутке :

где , , , .

Тогда краевое условие дает равенство

откуда

, , , .

Окончательно решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

2. Для любой случайной величины и любого положительного числа справедливо неравенство Чебышева

Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть – плотность случайной величины , а , тогда

так как события и несовместны.

Итак,

то есть

Неравенство Чебышева доказано.

Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).

Следствие. Поскольку , то

3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи

при , ,

, .

Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля: