2015-07-14
394
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце.
2. Закон больших чисел (теорема о связи 
и 
, где 
, 
, …, 
– попарно независимые величины, дисперсии которых ограничены одной и той же const) (с доказательством).
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, 
,
ГУ: 
;
НУ: 
.
4. Найти вероятность того, что при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза.
1. Уравнением Лапласа называется уравнение вида
,
где 
– оператор Лапласа.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ставится следующим образом:
при 
,
, 
,
где 
– оператор Лапласа в полярных координатах 
, 
(
, 
), 
, 
– заданные функция.
Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности
.
Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.
Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде
,
Подставляем 
в уравнение и разделяем переменные:
,
откуда
,
.
Из условия периодичности следует, что
, 
.
Таким образом, для 
получаем задачу на собственные значения
,
.
Если 
, то
.
Применяем условие периодичности:
.
Отсюда, 
, 
, 
.
Если 
, то
.
Следует взять 
иначе не выполнится условие периодичности.
При 
ненулевых периодических решений нет.
Окончательно имеем
, 
.
Чтобы решить уравнение для 
при , сделаем замену 
. Получим
, 
,
откуда
,
т.е.
, 
.
При получим 
.
Таким образом, функции
,
являются частными решениями уравнения 
. Составим функцию
,
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.
Для нахождения 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, воспользуемся краевыми условием 
, . Разложим функции 
, 
в тригонометрический ряд Фурье в промежутке 
:
,
,
где
, 
, 
, ,
, 
, 
, .
Тогда краевое условие 
дает равенство
,
откуда
, 
, 
, .
Краевое условие 
дает равенство
,
откуда
, 
, 
, .
Тогда
из системы , находим
, 
;
из систем , , , находим
, 
, ;
из систем , , , находим
, 
, .
Окончательно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид
.
2. Пусть 
– последовательность случайных величин, для которых определены математические ожидания 
, 
. Кроме того, пусть для любого 
.
Математические теоремы, формулирующие условия такой сходимости, носят название закона больших чисел (ЗБЧ).
Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.
Введем обозначения
, 
.
Теорема Чебышева. Пусть 
– последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания 
и дисперсии, ограниченные в совокупности: 
при любом 
. Тогда для любого 
.
Доказательство. Поскольку случайные величины 
независимы, то
,
Кроме того,
,
поскольку дисперсии 
ограничены в совокупности.
Применим к вероятности 
неравенство Чебышева и неравенство для 
:
.
Последнее при любом 
стремится к нулю при 
. Теорема доказана.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из граничных условий 
, 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, .
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то 
является собственным значением, а 
– соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь 
(при 
задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид
.
Тогда 
. Из краевого условия 
получаем: 
, 
, т.е. 
и 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , 
, ;
собственные функции , 
, .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
, 
.
При 
получим уравнение 
, откуда
.
При общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов 
, 
, , воспользуемся начальными условиями 
, 
.
Разложим функцию 
на отрезке 
в ряд Фурье по системе 
:
,
где
,
.
Находим
,
при 
,
при 
.
Итак,
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
, 
, 
.
Находим 
:
.
Тогда начальное условие дает
,
откуда
, 
.
Тогда решение задачи есть ряд
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – выпадение при подбрасывании двух игральных кубиков в сумме пяти очков. Поскольку при подбрасывании двух игральных кубиков всего возможно 
исходов, а сумме 5 может появиться четырьмя способами: 
, 
, 
, 
, то вероятность «успеха» равна 
. Проведено 
испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 3 раза (т.е. при семи подбрасываниях двух игральных кубиков пять очков в сумме появятся ровно 3 раза), равна
.
