Экзаменационный билет № 16

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике.

2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса . ГУ: .

4. Найти закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике имеет вид

, ,

, .

Эту задачу разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной из переменных. Пусть

где и являются соответственно решениями таких задач в прямоугольнике:

Рассмотрим сначала задачу для . Согласно методу Фурье будем искать решения в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из краевых условий получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку , то общее решение уравнения имеет вид

Из краевого условия получаем: , т.е. . Тогда из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , ;

собственные функции , .

Теперь при каждом решаем уравнение для :

: , .

Общее решение этого уравнения имеет вид

Тогда

Граничные условия и приводят к равенствам:

, .

Пусть

и ,

где

– соответствующие ряды Фурье функций и по системе функций , . Тогда

откуда

, , ,

, , .

Тогда

Аналогично решается задача для :

где

, .

Значит, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике

2. Теорема сложения вероятностей. Если события и совместны, то

Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться события и . Пусть – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий . Тогда событию благоприятствуют исходы числом . Значит, по формуле классической вероятности

Следствие. Если события и несовместны, то и

Для трех событий , и теорема сложения имеет вид

Для событий теорема сложения имеет вид

Противоположные события и несовместны и в сумме дают достоверное событие, поэтому

откуда получаем формулу для вероятности противоположного события

3. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа вне круга радиуса ставится следующим образом:

при ,

где – оператор Лапласа в полярных координатах , (, ). Граничное условие преобразуем в полярные координаты:

Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности

Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье.

Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде

Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

откуда

Из условия периодичности следует, что

, .

Таким образом, для получаем задачу на собственные значения

Если , то

Применяем условие периодичности:

Отсюда, , , .

Если , то

Следует взять иначе не выполнится условие периодичности.

При ненулевых периодических решений нет.

Окончательно имеем

, .

Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим

, ,

откуда

т.е.

, .

При получим .

Таким образом, функции

являются частными решениями уравнения . Составим функцию

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением.

Поскольку задача рассматривается во внешности круга радиуса , то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые является неограниченными в области , т.е.

, , .

Итак, в области имеем

Для нахождения , , , , воспользуемся граничным условием :

откуда

, , , ,

, .

Тогда в ряде для ненулевыми являются только коэффициенты

, .

По условию , поэтому

, .

и окончательно решение заданной внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вне круга имеет вид

4. Здесь мы имеем дело с испытаниями по схеме Бернулли, где «успех» – попадание по мишени, вероятность «успеха» , всего испытаний. Случайная величина – число попаданий в мишень при четырёх выстрелах – имеет биномиальное распределение. Тогда принимает значения с вероятностями