2015-07-14
952
1. Задача Неймана для уравнения Лапласа. Условие разрешимости.
2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.
3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
, 
,
ГУ: 
; НУ: 
.
4. Случайная величина 
задана плотностью вероятности 
Найти 
и 
. (в билете опечатка: для приведенной в нем плотности не выполняется условие нормировки, я исправил как надо)
1. Задача Неймана для уравнения Лапласа имеет вид:
в области 
,
,
где 
– оператор Лапласа, 
– граница области 
, 
– нормаль к границе.
Задача Неймана имеет решение не для любой функции 
, а только для такой, для которой выполнено условие
(поверхностный интеграл по границе области равен нулю).
Докажем это условие. Во второй формуле Грина
возьмем 
– гармоническая в 
функция (т.е. ), а 
(тогда 
, 
).
Тогда формула Грина примет вид
,
откуда с учетом условия Неймана и получаем условие разрешимости в виде
Если условие разрешимости выполнено, то задача Неймана для уравнения Лапласа имеет бесчисленное множество решений.
|
|
|
2. События 
образуют полную группу попарно несовместных событий, если:
а) они являются попарно несовместными, т.е. 
при 
;
б) 
.
Теорема. Пусть 
– некоторое событие, а события образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда имеет место формула полной вероятности
.
Доказательство. Заметим, что событие 
можно представит в виде суммы попарно несовместных событий (рис.):
.
Рис.
Используя теорему сложения, получим
.
Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения
,
получим
.
События 
называют гипотезами.
Часто бывает, что событие 
может происходить при двух взаимоисключающих условиях 
и 
. Если 
, то события 
и 
образуют полную группу событий и формулу полной вероятности можно записать в виде
.
Теорема. Пусть события 
удовлетворяют условиям, сформулированным в условии теоремы о формуле полной вероятности и 
. Тогда справедлива формула Байеса
.
Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим
,
откуда
.
Далее, расписав в знаменателе 
по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса.
Вероятности гипотез 
называют еще априорными вероятностями, а вероятности 
– апостериорными вероятностями (
– до опыта, 
– после опыта).
Если гипотезы две – 
и 
, то формулы Байеса для апостериорных вероятностей имеет вид
, 
.
3. Сначала найдем общее решение однородного уравнения 
при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения 
будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
|
|
|
, 
.
Из граничных условий 
, 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, .
Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то 
является собственным значением, а 
– соответствующей ему собственной функцией.
Пусть теперь 
(при 
задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид
.
Тогда 
. Из краевого условия 
получаем: 
, 
, т.е. 
и 
.
Из краевого условия 
получаем: 
. Поскольку и 
, то 
и равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , 
, ;
собственные функции , 
, .
Разложим функцию 
в ряд Фурье на отрезке 
по системе собственных функций 
:
,
где
,
,
так как
,
Находим:
при 
,
при 
.
Заметим, что
, 
,
, .
Тогда
.
Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения будем искать в виде ряда
,
где функции 
, 
, подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальным условиям. Заметим, что функция 
при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям , . Находим производные
, 
,
, 
и подставляем их в неоднородное уравнение:
,
,
,
откуда получим, что функции , , удовлетворяют уравнениям
,
, ,
.
Из начальных условий получаем:
,
,
откуда
, 
.
Итак, функции , 
, являются решениями задач Коши
, 
, 
;
, 
, 
;
, 
, 
.
Решаем задачу для 
:
, 
,
: 
, 
,
: 
, 
.
Тогда
Задачи для 
, , имею в силу единственности только нулевое решение:
, .
Решаем задачи для 
. Уравнение – неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение соответствующего однородного имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Тогда
, 
,
,
, 
Значит, общее решение уравнения для есть
.
Найдем 
, 
из начальных условий:
: 
, 
,
,
: 
, 
Итак,
.
Окончательно получим решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях в виде
.
4. Математическое ожидание и дисперсию найдем соответственно по формулам:
, 
.
Для заданной плотности имеем:
,
.
