Экзаменационный билет № 17

1. Задача Неймана для уравнения Лапласа. Условие разрешимости.

2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.

3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

, ,

ГУ: ; НУ: .

4. Случайная величина задана плотностью вероятности Найти и . (в билете опечатка: для приведенной в нем плотности не выполняется условие нормировки, я исправил как надо)

1. Задача Неймана для уравнения Лапласа имеет вид:

в области ,

где – оператор Лапласа, – граница области , – нормаль к границе.

Задача Неймана имеет решение не для любой функции , а только для такой, для которой выполнено условие

(поверхностный интеграл по границе области равен нулю).

Докажем это условие. Во второй формуле Грина

возьмем – гармоническая в функция (т.е. ), а (тогда , ).

Тогда формула Грина примет вид

откуда с учетом условия Неймана и получаем условие разрешимости в виде

Если условие разрешимости выполнено, то задача Неймана для уравнения Лапласа имеет бесчисленное множество решений.

2. События образуют полную группу попарно несовместных событий, если:

а) они являются попарно несовместными, т.е. при ;

б) .

Теорема. Пусть – некоторое событие, а события образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда имеет место формула полной вероятности

Доказательство. Заметим, что событие можно представит в виде суммы попарно несовместных событий (рис.):

Рис.

Используя теорему сложения, получим

Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения

получим

События называют гипотезами.

Часто бывает, что событие может происходить при двух взаимоисключающих условиях и . Если , то события и образуют полную группу событий и формулу полной вероятности можно записать в виде

Теорема. Пусть события удовлетворяют условиям, сформулированным в условии теоремы о формуле полной вероятности и . Тогда справедлива формула Байеса

Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим

откуда

Далее, расписав в знаменателе по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса.

Вероятности гипотез называют еще априорными вероятностями, а вероятности – апостериорными вероятностями ( – до опыта, – после опыта).

Если гипотезы две – и , то формулы Байеса для апостериорных вероятностей имеет вид

, .

3. Сначала найдем общее решение однородного уравнения при нулевых граничных условиях. Для этого воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, , .

Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а – соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (при задача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравнения имеет вид

Тогда . Из краевого условия получаем: , , т.е. и .

Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения , , ;

собственные функции , , .

Разложим функцию в ряд Фурье на отрезке по системе собственных функций :

где

так как

Находим:

при

Заметим, что

, ,

, .

Тогда

Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения будем искать в виде ряда

где функции , , подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению и начальным условиям. Заметим, что функция при любом выборе функций , , точно удовлетворяет однородным граничным условиям , . Находим производные

, ,

и подставляем их в неоднородное уравнение:

откуда получим, что функции , , удовлетворяют уравнениям

, ,

Из начальных условий получаем:

откуда

, .

Итак, функции , , являются решениями задач Коши

, , ;

, , .

Решаем задачу для :

, ,

: , ,

: , .

Тогда

Задачи для , , имею в силу единственности только нулевое решение:

, .

Решаем задачи для . Уравнение – неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение соответствующего однородного имеет вид