Свойства плоских кривых: Касание

Пусть и две плоские кривые с параметризациями и соответственно. Пусть , , - расстояние от точки до , ‑ расстояние то до точки .

Определение 12.1. Будем говорить, что кривая имеет с кривой в точке порядок соприкосновения (касания) , если при .

Теорема 12.1. Пусть кривая задана неявно уравнением , а кривая в окрестности точки имеет параметризацию , причем . Для того, чтобы имела с кривой в точке порядок соприкосновения необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1. , (то есть ),

Доказательство_.

Будем считать, что ‑ параметризация некоторой окрестности точки

Пусть ‑ точка на кривой , достаточно (чтобы вести дальнейшие рассуждения без дополнительных оговорок и комментариев) близкая к . Обозначим такую точку на кривой , что расстояние от до кривой равно расстоянию между точками и .

Покажем, что вектор направлен по нормали кривой в точке . В самом деле, значение параметра есть точка минимума функции рассмотрим функцию . Значение параметра есть точка минимума функции , то есть является решением уравнения или .

Но

поэтому

или в других обозначениях . Последнее равенство говорит о том, что вектор идет перпендикулярно касакасательной кривой в точке , а значит он сонаправлен с вектором .

Если , то или . Кроме того, при имеем , и вектор , сохраняя единичную длину, стремится к вектору , сонаправленному с .

Это значит, что

, откуда следует, что, если находится достаточно близко к , то

(хвост последовательности попадает в малую окрестность отличного от нуля числа ).

Вспомним, что , поэтому . Разлагая в ряд левую часть последнего равенства, получаем

или

При величина как скалярное произведение сонаправленных ненулевых векторов, поэтому в силу равенства

заключаем, что и имеют одинаковый порядок малости.

Теперь заметим, что

то есть имеет порядок малости такой же, как и . Следовательно

Правая часть равенства равна нулю тогда и только тогда, когда все члены разложения функции по степеням до -ого включительно равны нулю, что и доказывает теорему.