Свойства плоских кривых: эвольвента

Определение 15.1. Кривая , для которой кривая является эволютой, называется ее (кривой ) эвольвентой.

Уравнение эвольвенты.

Пусть натуральная параметризация кривой . Будем искать параметризацию эвольвенты такую, что точка является точкой касания кривой и нормали , проходящей через (см. следствие 14.1), то есть положим:

Дифференцируя, получаем

Умножим скалярно обе части равенства на :

.

Таким образом, уравнение эвольвенты в натуральном параметре примет вид:

,

где ‑ произвольная постоянная.

Переходя к произвольной параметризации , получим: